最佳保温层厚度的计算（再取个名字）
一、 摘要
通过对热传导和保温隔热材料性能的研究，根据题意，建立了解决保温层材料和厚度的计算模型。

针对第一个问题（即珍珠岩的厚度应为多少），我们建立模型一。

利用傅立叶定律列出方程，通过室温与屋顶内表面有温差和对散热过程、感热过程的分析，给出两个不等式，通过对不等式的求解，得出珍珠岩保温层的厚度范围5δ≥0.533893cm 且5δ≥10.3713cm ，由于保温层材料已给定是珍珠岩，单价为定值，所以用料最省就最经济，又由于保温层要同时考虑保温和隔热两种效果，还要用料最省，故珍珠岩保温层的厚度选择为10.3713cm ，约为10.4cm ，通过资料查证，保温层珍珠岩的厚度在7cm 到20cm 之间，所以在忽略误差的情况下，通过模型一对珍珠岩保温层的计算得出的结果是正确的。

针对第二个问题（即如果更换保温层成其他保温材料，哪种好？并求其厚度。

），我们建立模型二。

在保温层用一种材料替代的情况下，利用0，1规划，列出关系式，目标函数设为保温层费用的求解函数，由于热阻大的材料保温隔热的效果好，所以在限制条件中，替代材料的热阻要大于等于珍珠岩的热阻，在目标函数中未知变量为所选保温隔热材料的厚度和单价，厚度又由导热系数导出，通过编译程序代入所有已知材料的种类数，并依次输入它们对应的导热系数和对应的单价，即算出最优材料及其对应的厚度和价钱，输出的结果为 。

本文的特色在于两个模型用了两种不同的计算方法，模型一思路清晰，运行简单，但只能计算已知保温隔热材料的厚度，并不是判断最优材料和计算厚度的通式，模型二利用0，1规划，建立了判断最经济材料和计算其厚度的通式，运行简便，无论是思路还是使用范围都优于模型一，模型二可为模型一求解，模型一可为模型二检验。

(最后一个问题不知道是否可行，你检验一下程序二。

)
关键词：保温隔热材料，热阻，导热系数，温度差，外围结构
二、问题重述
目前，城市居民楼很多都是简单的平屋顶，屋顶由里向外的结构是涂料，水泥砂浆, 楼板，水泥砂浆，珍珠岩保温层，水泥砂浆，三毡四油防水材料。

厚度分别为0.1cm,1.5cm,20cm,2cm,xcm,2cm,1cm,其中x为未知变量。

已知屋顶外表面最高表面温度为75℃，最低为-40℃。

要求：①保持室内温度舒适②所用材料最省最经济
问：⑴珍珠岩保温层厚度是多少？
⑵如果更换保温层成其他保温材料，哪种好？并求其厚度。

三、问题分析
在任何介质中，当两处存在温差时，在温度高低两部分就会产生热量的传递，热量将由温度较高的部分通过不同的方式向温度低的地方转移。

就人们的住宅来讲，冬天室内温度较室外高，热量就会通过房屋的外围结构向室外传递，使室内温度降低，造成热损失；夏天室外温度高于室内，热量就会通过房屋的外围结构向室内传递，使室内的温度升高，为了保持室内有宜于人们生活、工作的温度，房屋的外围结构所采用的建筑材料必须有一定的保温隔热性能，以保证冬暖夏凉的环境，减少供热和降温用的能量消耗，从而达到节能的目的。

为了实现这一目的，我们就屋顶的保温层材料进行了设计和厚度计算。

由于室内外温差波动不大，所以在建筑保温的热工计算中，把通过建筑围护结构的传热过程看作是在稳定条件下进行的，即是指热量在通过围护结构时，其热流量的大小不随时间的变化而变化，因此对通过围护结构的实体材料层的传热过程均按导热考虑。

对于热传导的过程我们不考虑热量传递的瞬时性，只考虑时间段的持
续性。

由于在实际生活中，室温与屋顶内表面有温度差，所以必须考虑屋顶内层空气的感热过程和散热过程，又因为已知条件中给定了屋顶外表面的温度变化范围，故不考虑屋顶外表面的感热过程和散热过程。

由于除保温层外的其他材料给定且厚度已知，所以在考虑最省问题时只需考虑保温隔热材料的用料和价格，用料越省、单价越低则越省钱。

基于以上分析，我们重点考虑室内的舒适程度,即保证室内温度最适条件下,计算用料最省和价钱最省。

四、 问题假设
1) 假设屋顶各部分材料均匀，通过屋顶的热传导过程看作是在稳定条件下
进行的，即是指热量在通过屋顶结构时，其热量的大小和方向不随时间而变化，室内温度w T ,室外温度n T 保持不变。

2) 假设研究一个时间段Z 的热传导情况，即不考虑热量传递的瞬时性，而
只考虑时间段Z 的持续性。

3) 不考虑屋顶外表面的感热或者散热过程，即外表面温度已知为n T 。

4) 室内温度为常温25℃。

五、 符号说明
w T ——室内温度
n T ——屋顶外表面温度
0T ——屋顶内表面温度
T ∆——屋顶内表面与室内温度的允许温差
i T ——第i 层材料上表面温度（i=1，2，3，4，5，6，7）
i δ——第i 层材料的厚度（i=1，2，3，4，5，6，7）
i λ——第i 层材料的导热系数（i=1，2，3，4，5，6，7）
i R ——第i 层材料的热阻（i=1，2，3，4，5，6，7）
s R ——屋顶内表面空气散热阻
g R ——屋顶内表面空气感热阻
R ——总热阻
R 0——满足保温条件的珍珠岩保温层最小热阻
Q ——通过整个屋顶的热量
Q 0——通过屋顶内表面空气散热层的热量
F ——屋顶面积
Z ——传热时间
i c ——第i 种保温隔热材料的单价
M ——单位面积下的最小费用
六、 模型的建立与求解
模型一：
分别由里到外记涂料，水泥砂浆，楼板，水泥砂浆，珍珠岩保温层，水泥砂浆，三毡四油防水材料为i=1,2,3,4,5,6,7,各层材料厚度分别对应为i δ,热传导系数 为i λ，面积为F ，传热时间为Z ，则由傅立叶定律得： Q=
δλFZ T T w n )(- 易知，Q 与λδ成反比，于是我们设R=λ
δ，则R 可表示热流通过材料时的阻力，简称热阻，由表达式可知在同样温差条件下，R 越大，通过材料的热量越少。

于是我们可以得到
Q =R
FZ T T w n )(- 如果记第i 层材料上表面温度为T i ，下表面温度为T 1-i ，热阻为R i ，则有
Q i =i
i i R FZ T T )(1--（i=1,2,3…） R i =i
i λδ 情况Ⅰ：当室外温度高于室内温度，即T w <T n ≦75℃时，屋顶内表面空
气散热阻记为R s ，则有总热阻
R=R s +∑=n
i i R 1 ——①
通过整个屋顶的热量
Q =R
FZ T T w n )(- ——② 通过屋顶内表面散热空气层的热量
Q 0=s
w R FZ T T )(0- ——③ 由于在热稳定条件下，通过任何一层的热流都是相同的，则有
Q= Q 0 ——④
由②③④得 R=)
()(0w s w n T T R T T -- ——⑥ 若∆T 表示屋顶内表面与室内温度允许的温度差，则有
w T T -0≤ T ∆ ——⑦
假设珍珠岩保温层是第x 层，则有
R x =R-R s -
∑≠=x i i i R ,1 ——⑧ 综上
R x ≥T R T T s w n ∆-)(-R s - ∑≠=x i i i R ,1 ——Ⅰ
情况Ⅱ：当室内温度高于室外温度，即-40℃≦T n < T w 时，屋顶内表面
空气感热热阻为R g ，则有总热阻
R=R g +∑=n
i i R 1 —— ①
通过整个屋顶的热量
Q =－R
FZ T T w n )(- ——② 通过屋顶内表面感热空气层的热量
Q 0=－g
w R FZ T T )(0- ——③ 由于在热稳定条件下，通过任何一层的热流都是相同的，则有
Q= Q 0 ——④
由②③④得
R=)()(0w g
w n T T R T T -- ——⑥
若T ∆表示屋顶内表面与室内温度允许的温度差。

则有
T T T w ∆≤-0 ——⑦
假设珍珠岩保温层是第x 层，则有
R x =R-R g -
∑≠=x i i i R ,1 ——⑧ 综上
R x ≥T R T T g
n w ∆-)(-R g -
∑≠=x i i i R ,1 ——Ⅱ
情况Ⅲ，当室内温度等于室外温度，无能量流动。

模型一求解：
联立Ⅰ，Ⅱ得
x δ≥ [T R T T s w n ∆-)(-R s -∑≠=x i i i
i
,1λδ]x λ，T w <T n ≤75℃ x δ≥ [T R T T g
n w ∆-)(-R g -∑≠=x i i i
i ,1λδ]x λ，-40℃≤T n < T w 查参数表有各种材料热导系数分别为：膨胀珍珠岩0.09w/(m ·K)，水泥砂浆0.93 w/(m ·K), 防火隔热涂料0.1w/(m ·K),钢筋混泥土1.53 w/(m ·K),建筑用毡0.1 w/(m ·K)，T ∆ =5.5℃,屋顶感热阻R g =0.114(m 2·k/w), 屋顶散热阻R s =0.043(m 2·k/w),室温T w =25℃，屋顶外表面温度变化范围-40℃75≤≤n T ℃。

输入程序得
5δ≥0.533893cm 且5δ≥10.3713cm
由于保温层要同时满足保温和隔热两种需求，所以最省的保温层厚度取上述结果交集的最小值时，用料最省，故珍珠岩的厚度为10.3713cm 。

模型二：
由模型一知，在满足要求条件下确定保温层的热阻，记为R 0，
且 R 0=
833.055=λδ。