【2013年中考攻略】专题2：待定系数法应用探讨锦元数学工作室 编辑在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。
然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。
待定系数法是数学中的基本方法之一。
它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。
应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。
比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“已知x 2-3=（1-A ）·x 2＋Bx ＋C ，求A ，B ，C 的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A ，B ，C 的值。
这里的A ，B ，C 就是有待于确定的系数。
代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx ，将（2，﹣从而求得正比例函数解析式。
这里的k 就是有待于确定的系数。
代入所求，从而使问题获解。
b 2=k a3=，则a=3k b=2k ，，；在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。
下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。
一. 待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。
典型例题：例：（2011云南玉溪3分）若2x 6x k ++是完全平方式，则k =【 】A ．9B ．－9C ．±9D ．±3【答案】A 。
【考点】待定系数法思想的应用。
【分析】设()22x 6x k=x+A ++，则222x 6x k=x 2Ax A ++++，∴22A =6A =3k=9A =k ⎧⎧⇒⎨⎨⎩⎩。
故选A 。
练习题：1.（2012江苏南通3分）已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于【 】 A ．64 B ．48 C ．32 D ．162.（2012贵州黔东南4分）二次三项式x 2﹣kx+9是一个完全平方式，则k 的值是 ▲ 。
3.（2011江苏连云港3分）计算 (x ＋2) 2的结果为x 2＋□x ＋4，则“□”中的数为【 】 A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．44.1化成2(x p)q ++的形式为【 】C.2(x 2)5+-D.2(x 4)4++在一类分式求值问题中，已知一比例式a b a b-+的值是【 】 324D ．49【答案】D 。
【考点】比例的性质。
【分析】∵b 5a 13=，∴设b 5k a13==，则b=5k ， a=13k ，把a ，b 的值代入a b a b-+，得，a b 13k 5k 8k 4===a b13k 5k18k9--++。
故选D 。
练习题：1.（2012北京市5分）已知a b =023≠，求代数式5a 2b (a 2)(a+2b)(a 2b)b ⋅--－的值。
2.（2011四川巴中3分）若a 22a b3=-，则b a= ▲ 。
三. 待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：x 3－6x 2+11x －6，223x 5xy 2y x 9y 4+-++-，目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法）。
典型例题：例1：（2012湖北黄石3分）分解因式：2x x 2+-＝ ▲ 。
【答案】（x －1）（x ＋2）。
【考点】因式分解。
【分析】设()()2x x 2x A x B +-=++，∵()()()2x A x B x A B x A B ++=+++⋅，A B=1A B=2+⎧⎨⋅-⎩，解得A=1B=2-⎧⎨⎩或A=2B=1⎧⎨-⎩，∴()()2x x 2=x 1x 2+--+。
〖注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为一种解法介绍于此。
〗例2：分解因式：223x 5xy 2y x 9y 4+-++- ▲ 。
【答案】()()3x y 4x 2y 1-++-。
【考点】因式分解。
【分析】∵()()223x 5xy 2y 3x y x 2y +-=-+，∴可设()()223x 5xy 2y x 9y 43x y a x 2y b +-++-=-+++。
∵()()()223x y a x 2y b 3x 5xy 2y a 3b x (2a b)y ab -+++=+-+++-+， ∴()22223x 5xy 2y x 9y 43x 5xy 2y a 3b x (2a b)y ab +-++-=+-+++-+。
比较两边系数，得a 3b=12a b=9ab=4+⎧⎪-⎨⎪-⎩①②③。
联立①，②得a=4，b =－1。
代入③式适合。
∴()()223x 5xy 2y 3x y 4x 2y 1+-=-++-。
练习题：1. （2012四川南充3分）分解因式：2x 4x 12-- = ▲ 。
2. （2012山东潍坊3分）分解因式：x 3—4x 2—12x= ▲ 。
3. （2011贵州黔东南4分）分解因式：=--822x x ▲ 。
四. 题的常用方法，就是要确定方程中x 的系数与常数，标满足方程的关系，重要内容，是求曲线方程的有效方法。
二次函数这几类函数，前面三种分别可设系数，且k ≠0)、b 、c 为待定系数)，顶点式y=a (x －h) 2+k(a 、k )( a 、x 1、x 2为待定系数)三类形式。
根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出a 、b 、c 、k 、x 1、x 2等待定系数，求出函数解析式。
典型例题：例1：（2012江苏南通3分）无论a 取什么实数，点P(a －1，2a －3)都在直线l 上，Q(m ，n)是直线l 上的点，则(2m －n ＋3)2的值等于 ▲ ． 【答案】16。
【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。
【分析】∵由于a 不论为何值此点均在直线l 上，∴令a=0，则P 1（－1，－3）；再令a=1，则P 2（0，－1）。
设直线l 的解析式为y=kx+b （k≠0）， ∴ k b 3 b 1-+=-⎧⎨=-⎩ ，解得k 2 b 1=⎧⎨=-⎩ 。
∴直线l 的解析式为：y=2x －1。
∵Q （m ，n ）是直线l 上的点，∴2m －1=n ，即2m －n=1。
∴(2m－n＋3)2=（1+3）2=16。
例2：（2012山东聊城7分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．【答案】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），∴k b0b=2+=⎧⎨-⎩，解得k2b=2=⎧⎨-⎩。
∴直线AB的解析式为y=2x﹣2。
，x=2。
，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标。
例3：（2012湖南岳阳8分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式．（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？【答案】解：（1）排水阶段：设解析式为：y=kt+b，∵图象经过（0，1500），（25，1000），∴b=150025k+b=1000⎧⎨⎩，解得：k=20b=1500-⎧⎨⎩。
∴排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500。
清洗阶段：y=0。
灌水阶段：设解析式为：y=at+c，∵图象经过（195，1000），（95，0），∴195a+c=100095a+c=0⎧⎨⎩，解得：a=10b=950⎧⎨-⎩。
∴灌水阶段解析式为：y=10t﹣950。
（2）∵排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500，∴令y=0，即0=﹣20t+1500，解得：t=75。
∴排水时间为75分钟。
清洗时间为：95﹣75=20（分钟），∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500 m3，∴1500=10t﹣950，解得：t=245。
故灌水所用时间为：245﹣95=150（分钟）。
【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0和灌水阶段解析式即可。
（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象与x轴交点坐标，即可得出答案。
例4：（2012湖南娄底3分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是【】A．1y2x=-B．2yx=-C．2yx=D．1yx=【答案】B 。
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】设反比例函数图象设解析式为k y x=，将点（﹣1，2）代入k y x=得，k=﹣1×2=﹣2。
则函数解析式为2y x=-。
故选B 。
例5：（2012江苏连云港12分）如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点O 为坐标原点，点D 为抛物线的顶点，点E 在抛物线上，点F 在x 轴上，四边形OCEF 为矩形，且OF ＝2，EF ＝3， (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)求△ABD 的面积；(3)将△AOC 绕点C 逆时针旋转90°，点A 对应点为点G ，问点G 是否在该抛物线上？请说明理由．【答案】解：(1)∵四边形OCEF 为矩形，OF ＝2，EF ＝3，∴点C 的坐标为(0，3)，点E 的坐标为(2，3)．把x ＝0，y ＝3；x ＝2，y ＝3分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得c=34+2b+c=3⎧⎨-⎩，解得b=2c=3⎧⎨⎩。
∴抛物线所对应的函数解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3。
(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)。
∴△ABD 中AB 边的高为4。
令y ＝0，得－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3。
∴AB ＝3－(－1)＝4。
∴△ABD 的面积＝12×4×4＝8。