则有
ˆ (u, v) F
H *(u, v) H (u, v) Sn (u, v) / S f (u, v)
2
G(u, v)
ˆ (u, v) F
H *(u, v) H (u, v) Sn (u, v) / S f (u, v)
2
G(u, v)
或：
2 1 | H ( u , v ) | ˆ (u, v) F G (u, v) 2 H (u, v) | H (u, v) | S n (u , v) / S f (u , v )
HW 1 (u , v) 如果没有噪声，就成为逆滤波 H (u , v )
ˆ (u, v) 0 （3）当理想图像功率谱Sf (u,v)＝0)时 F ,表明我们不可 能从全是噪声的图像中恢复出任何有意义的信号。
（4）往往未退化图像的功率谱Sf (u,v)难以知道，用下式近似 表示： 2 H ( u , v ) 1 ˆ F (u, v) [ ]G(u, v) 2 H (u, v) H (u, v) K
N.Wiener, “The extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series”, New York: Wiely, 1949.
ˆ 目标：使得复原后图像 f x, y 与原始图像 f ( x, y )
的均方

f ( x, y ) hw ( x, y ) * g ( x, y ) F (u, v ) HW (u, v )G (u, v )

由Andrews和Hunt推导满足这一要求的传递函数为：
H *(u, v) H w (u, v) Sn (u, v) 2 H (u, v) S f (u, v)
逆滤波和维纳比逆滤波要好
全逆滤波 的结果
半径受限的 逆滤波结果
维纳滤波的结 果 (交互选择K)
逆滤波和维纳滤波的比较



(a)运动模糊及均值 为0方差为650的加性 高斯噪声污染的图像 (b) 逆滤波的结果 (c) 维纳滤波的结果 (d)-(f) 噪声幅度的方 差比(a)小1个数量级 (g)-(i) 噪声幅度的方 差比(a)小5个数量级
H *(u, v) S (u, v) 2 H (u, v) n S f (u, v)
ˆ (u, v) H (u, v)G(u, v) F W
维纳滤波复原特点
ˆ (u, v) F H *(u, v) H (u, v) Sn (u, v) / S f (u, v)
2
G(u, v)
（1）当H （u,v） →0或幅值很小时，分母不为零，不会造成 严重的运算误差。 （2）在信噪比高的图像中，即Sn(u,v)<<Sf(u,v)
误差最小：
2
2 ˆ min: e E f x, y f x, y


f x, y 称为对 在均方误差值最小的准则下得到的 ˆ f(x,y)的最小二乘方估计。
按照该准则得到的滤波器叫维纳滤波器。 因此维纳滤波器又称为最小均方差滤波器。
•线性滤波：寻找点扩散函数hw(x,y)，使得
维纳滤波 (Wiener filtering)=最小均方差滤波
维纳滤波是最常用的图像恢复方法 基于维纳滤波的图像恢复方法是1967年提出的
C.W. Helstrom, “Image restoration by the method of lest sqaures,” Journal of the Optical Scoiety of America, vol.57, no.3, pp.297-303, 1967. C.W.Helstrom, This week’s citation classic, 1982 1967-1982年SCI引用超过125次.
这里， H *(u, v) 是成像系统传递函数H(u,v)的复共轭；
Sn(u,v) 是噪声功率谱： Sn (u, v)＝ N (u, v) Sf (u,v)是输入图像的功率谱：
2
2
S f (u , v)＝ F (u, v)
维纳滤波复原过程
① 计算退化图像g(x,y)的二维Fourier变换G(u,v) ② 计算点扩展函数h(x,y)的二维Fourier变换H(u,v) ③ 计算退化 图像和噪声的功率谱Sf(u,v),Sn(u,v) ④ 计算滤波器HW(u,v) H w (u, v) ⑤ 计算理想图像的频谱估计 ⑥ 求反Fourier变换
不足之处，请批评指正。
谢 谢 ！
维纳滤波复原
学习汇报
维纳滤波
逆滤波处理比较简单，但没有清楚地 说明如何处理噪声，而维纳滤波综合了退化 函数和噪声统计特性两个方面进行复原处理。
逆滤波方法不能完全恢复原始信号f(x,y)，而只能 f x, y 。 求出f(x,y)的一个估计值 ˆ 希望找到一种方法，在有噪声条件下，从退化图像 g(x,y)复原出f(x,y)的估计值，该估计值符合一定的准 则。