-1-
二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）
9. 将 9 个各不相同的正整数填在 3×3 表格的格 子中, 一个格子填一个数, 使得每个 2×2 子 表格中四个数的和都恰好等于 100. 求这 9 个 正整数总和的最小值.
图1 图2
10. 右图中, 平行四边形 ABCD 的面积等于 1, F BF 是 BC 上一点, AC 与 DF 交于 E, 已知 3, FC 则三角形 CEF 的面积是多少？ 11. 设 m, n, p 为非零自然数, m n p , 且满足
所以， （3 -
8 ) 1, p 4 p
若 p 4 ，则
1 (3
8 8 8 8 8 )(3 )(3 ) (3 )(3 ), m n 4 m n p m n
上式只有 m n 4 时成立。 所以，p 的最大值是 4。
2 12. 答案： ABCE 的面积是 618 (平方米 ) 3 2 三角形 ADE 的面积是 266 (平方米 ) 3 1 梯形的 ABCD 面积是 885 (平方米 ) 3 80 解 ： 因 为 AE=BC= ( 米 ), D 3
x 2 y 3 , x 7 y 8 , x 12 y 13 , x 5 m 2 y 5 m 3 , , x 10052 y 10053 , x 10057 y 10058
其中 n, m 为非负整数, 则这两串单项式中共有 8.
对同类项.
将能被 3 整除、被 5 除余 2、被 11 除余 4 的所有这种正整数依照从小到大的 顺序排成一列, 记为 a1 , a2 , a3 , a4 , . 如果 an 1 2011 an , 则 n 等于 .
m2 2 n 都是偶数.
因为 (m 2 2 n)(m 2 n) 是 4 的倍数，但是 2 不是 4 的倍数，矛盾！ 所以不存在整数 m 使得 x 4
1 为完全平方数. x4
4 15
5 21
6 10
7 402
8 13
二、解答下列各题 (每题 10 分，共 40 分, 要求写出简要过程)
9. 答案：121
1 6 3 9 84 7 图1 2 5 4 A D G B E H 图2 C F I
解： （图 1 与图 2 供考生答题用）如图 2， S=A+B+C+D+E+F+G+H+I 4S=4(A+B+C+D+E+F+G+H+I) =(A+B+D+E)+(B+C+E+F)+(D+E+G+H)+(E+F +H+I)+ 2(A+B+C+D+F+G+H+I)+(A+C+G+I) =400+2(A+B+C+D+F+G+H+I)+(A+C+G+I) 由于 A,B,C,D,F,G,H,I 为各不相同的正整数，
EF=
AE 2 AF 2 EF 2 , AD 2 AF 2 DF 2 , DE 2 DF EF 2 2 2 DF 2 DF AE 2 AD 2 2DF EF 2EF2 2EF DF EF 2EF DE
1 1 m , 是否存在整数 m 使得 x 4 4 为完全平方数？如果存在, 求 x x 出整数 m ；若不存在, 请说明理由.
-2-
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题 A 参考答案（初中组） 一、 填空题 (每小题 10 分，共 80 分)
题号 答案 1
24 919
2 8547
3 10
而正方形 ABCD 的面积为 1 平方厘米. 由面积重叠原理可知，重叠部分为阴影六边形
“华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888
BEFDGH，它的面积为
3 3 1 1 （平方厘米）. 4 4 2
14. 答案：不存在 解：若存在整数 m 使得 x 4
x4 1 为完全平方数，则设存在正整数 n 使得， x4
S CEF x SCDE y, SDOE z ， S EOF w .
由左图和三角形面积公式： 1 y z SCDO ， 4 1 x y SCDF ， 8
x w SCOF
1 . 16
再次应用三角形面积公式，
x w EF . y z DE
A
B
F
E
C
DE=CD-CE=
2
100 (米), 3
2
100 100 80 2 所以 （ *） + -(20) =2 EF 3 3 3 64 (米)，因此 AF=16(米 ). 3 116 2 平行四边形 ABCE 的面积是 16 =618 (平方米) 3 3 116 1 2 三角形 ADE 的面积是(72) 16 = 266 (平方米) 3 2 3 1 梯形的 ABCD 面积是 885 (平方米)。 3 （*）成立的原因如下，因为
8 8 8 mnp . 问 p 的最大值等于多少？ 方程: (m )(n )( p ) 3 3 3 27
12. 如图, 如果将梯形 ABCD 分割成 一个 平行四边形 ABCE 和一个 三角形 AED, 2 2 AB= 38 米 , BC= 26 米 , CD=72 米 , 3 3 AD=20 米, 那么四边形 ABCE，三角形 AED， 梯形 ABCD 的面积分别是多少平 方米？
1 n2 . x4 1 1 因为 x m ，所以 x 2 2 m2 2 . x x 1 所以 x 4 4 (m2 2) 2 2 . x
所以 (m 2 2) 2 2 n 2 . 即 (m 2 2 n)(m 2 n) 2 . 因为 m2 2 n 与 m2 2 n 的奇偶性相同，且 2 是偶数，所以 m2 2 n 与
4.
内
5.
线
6.
将自然数 1~22 分别填在下面的“□”内（每个“□”只能填一个数）, 在形 成的 11 个分数中, 分数值为整数的最多能有 个.
封
7.
密
下面两串单项式各有 2011 个单项式 :
xy 2 ,x 4 y 5 ,x 7 y 8 , ,x 3n 1 y 3n 2 , ,x 6028 y 6029 ,x 6031 y 6032
A
B
D
E
C
三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）
13. 在边长为 1 厘米的正方形 ABCD 中, 分别以 A, B, C, D 为圆心, 1 厘米为半径画圆弧, 交点 E, F, G, H, 如图所 示. 求中间阴影六边形 BEFDGH 的面积.
14. 已知 x
有：A+B+C+D+F+G+H+I≥1+2+3+…+8=36， A+C+G+I≥1+2+3+4=10 所以，4S≥400+2×36+10=482，即 S≥120.5 因为 S 为整数，有 S≥121． 另一方面，可以如图 1 填数使得 S=121． 综上所述，表格中所填 9 个正整数总和的最小值为 121． 1 10. 答案 40 解 答 设 平 行 四 边 形 两 条 对 角 线 交 点 为 O ， 连 接 OF ，
兔 兔年 吉祥如意 兔兔兔兔兔兔
学校____________ 姓名_________ 参赛证号
中的汉字代表 0～9 的数字, 相同的汉字代表相同的数字, 不同的汉字代表不
勿
同的数字, 3.
吉祥如意 所代表的四位数是
.
请
将 12 个小球放入编号为 1 至 4 的四个盒子中, 每个盒子中的小球数不小于盒 子编号数, 那么共有 种不同的放法． 有一列数, 第一个数是 10, 第二个数是 20, 从第三个数开始, 每个数都是前 面所有数的平均数, 那么第 2011 个数是 . 设 x 是有理数, P 3x 6 x 3 2 x 6 x 9 , 则 P 的最小值为 .
三、解答下列各题 (每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程)
1 13. 答： 平方厘米. 2
解：如图，连接 AF, AE, 则 ADF , AFE, AEB 都是顶角为 30 ，两腰为 1 厘米 的等腰三角形.其面积相等.
1 自点 F 作 FP AD 于 P. 则 FP , 因此 2 1 1 1 三角形 ADF 的面积 1 . 所以五边 2 2 4 3 形 ABEFD 的面积= （平方厘米）. 同理， 4 3 五边形 BCDGH 的面积= （平方厘米）. 4
总分
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A（初中组）
（时间: 2011 年 4 月 16 日 10:00～ 11:30）
一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）
1 20 计算: = 1 3 1 (3) ( ) (1 16) 2 1.2
1.
题
.
2.
答
算式:
将 y,z,w 用 x 表达，
1 1 1 y x，w x， z x ， 8 16 8
（*)
代入(*)式，并整理，可得：
1 x 1 ,x . 16 1 1 40 x x 8 8 x
答：三角形 CEF 的面积是 11. 答案：4 解：由原方程，我们有