= ������������（t1 − t0）其中������������
= ������������
2������
是动量为������������的简
谐波的相速度。由此，叠加的新的波包将相对 t0 时刻的波包在空间上存在扩展
效应。也就是说，德布罗意波的波包在经历时间的演化将在空间中逐渐扩展开，
粒子的非定域性也随时表现的越加明显。
量子力学的几率解释
对于存在电磁能量的量子—光子，我们可以将其描写为平均圆频率为
和总
能量为
的归一化波包。又因为作为描述波函数 k 和圆频率
的简谐
波的振幅的权重而引入的谱函数：
在描写光子时，则
将看做是解释光子处于波数为 k 的几率密度 P(k)的
一种度量。也即，找到光子处在波数为
之间的几率为
p(k)Δk = N|������(������)|2Δ������
这样的 一个组态称之为波包， f(k)为谱函数 对应于波函数为 k 和圆频率为 的简谐波的振幅。
考察一个简单的谱函数-----Gaussian 函数
其中 f(k)在 k=k0 处取得极大值， 和代替积分近似有：
为高斯谱函数的宽度并且通过有限项的求
对于时间的演化，在 t1>0 时刻： 由于组成波包的所有波包均以光速 c 移动了c ∗ t1，因此由这 t1 时刻叠加的新波 包较 t=0 时刻而言也仅仅表现为波包移动了c ∗ t1的距离而形状保持不变。故上 述形式的波包在任意时刻保持同样形状。
2������ 与光子的平面波类似，给出非相对论下关系：
上式即为物质波的德布罗意波。
对应的相速度
������������
=
������ = ������ 。
������ ������������
由此可见，相速度与粒子的运动速度
v
=
������ ������
是不同的。
与简谐电波一样，德布罗意波并不能局限在空间的定域内，并不适合用来描述一
N 为归一化常数。
于是
从而
由此可以看出波包所包含的能量份数是度量光子以多大的几率处在由该波包占 据的空间中。
利用普朗克-爱因斯坦公式 数场表示为
和康普顿公式
；可以将平面波的复指
物质波与波包的色散
对于有限的静质量为 m 的粒子，以 v<< c 速度运动，相应的能量和动量在非相对 论下的关系为：
E = ������2 ， p = mv
动量的方差 :
Var（p）=���������2���
在由������������和������������的关系可得，在 t = 0 时刻
������������ ������������ =4ℎ������
or Δx Δp = ℎ
4������
上式即为不确定关系。这样我们就成功的由德布罗意波的波包推导出波包在随时
扩展效应更具体分析：
首先将上面ψ(x，t)式子对 p 作积分可得
ψ(x，t) = ������(������, t)������−������������(������,������)
其中
为振幅函数，并且以群速度������������ = ������������在空间进行传播.可以发现，群速度与粒子的
波函数所描述的粒子的位置和动量的期望值
对于德布罗意波包 〈������〉 = ������0 + ������0������
,
������0
=
������0 .
������
它相当于经典无加速度粒子的
轨道，因此可以把以德布罗意波的高斯波包看作是恒定速度运动的粒子的量子力
学描述。
相应的粒子位置的方差：Var（x）=〈(������ − 〈������〉)2〉 = ∫−∞∞ ������(������, ������)∗(������ − 〈������〉)2������(������, ������) ������������ 对于高斯波包，
叠加原理，所以任何在纯量子的世界中构造定域的元素都会是徒劳的！庆幸的是， 在费曼的有限温度路径积分中，详细的说明了，只要是在一个有限温度的系统中， 对其路径积分传播子做如下变换：积分的时间间隔变换成 ih/2πkT（就是所谓虚 的时间,k 是玻尔兹曼常数，T 是系统的温度，h 是普朗克常数），那么路径积分的 传播子就自动变成了一个高斯波包，而且是稳定的，不随时间扩散的波包，这个 波包的大小只与系统的温度 T 有关，按照费曼的计算，在室温下，这样的波包的 尺度数量级是 0.1A,比一般的原子要小得多！这很有可能是“定域性事件”的来 源。这样的话量子测量公设中的塌缩到本征态，也应该可以理解为是塌缩到一个 有限温度的费曼波包，于是便实现了在非定域的量子世界中构造出定域元素了。
Var（x）= ���������2���
=
ℎ2 16������2���������2���
(1
+
16������2���������2��� ℎ2
+
������������22)
动量的期望值
〈������〉 = ∫−∞∞ ������(������)������������(������ − ������0)������������ 积分可得 〈������〉 = ������0 .粒子的动量是守恒的。
个粒子的运动，为使其能够描述定域粒子，必须将简谐波叠加为空间的一个波包。
在此，以一维波包为例：
取谱函数
对应的德布罗意波的波包为：
与光子类似，使用一个累加取代积分表示为
其中
经历 t1 时刻后波包的演化
由于组成该波包的所有分波具有不同的相速度，因此在经历 t0 ~ t1 时间的演化
后，各分波移动了不同的距离 Δ������������
运动速度是一致的。
波包在空间定域的范围为：
���������2���
=
ℎ2 16������2���������2���
(1
+
16������2���������2��� ℎ2
+
������2 ������2)
这个公式表明波包在空间延伸范围随时间而增加，而且是对称地由中心向两端扩
展。物理上称这种现象为波的色散.本质是由于波的叠加造成的。
间的演化位置和动量的最小不确定关系，可以发现随着时间的推移这一不确定关
系将逐渐增大，波的非定域性越加凸显出来。
量子力学定观的基石是“定域事件”，它把空间和时间统 一到了明科夫斯基空间的点，但是在上述的计算过程中，物质波的非定域性对时 间的演化被逐步加强，而且在量子力学中，以波函数为代表，描述的客观实体是 非定域的，其基本特征是测量的不确定性，实例是 BELL 不等式的破坏，量子测 量悖论，时间算符不是可观测量等等。这样看来量子的世界并不能自洽的放入爱 因斯坦的时空观。 下面以量子测量进一步说明。显然，不管量子的世界有多少非定域整体性的特征， 但是，每次测量，都会得到一个“定域事件”，否则，测量就不能算完成。如果 说量子世界是非定域的，那么，如何能在量子的世界中自洽的构造出这类“定域 的事件”？首先，最小测不准态，也就是上述的一个高斯波包，应该被关注，因 为这是量子力学中，最接近定域事件的概念；但是，仅仅在量子力学理论本身的 框架内，任何波包都是要随时间迅速扩展的，正如爱因斯坦所说的，由于有波的
量子力学小论文
关于波包的讨论
波包的引入
吴海壹 PB11009007
在真实的物理情形下，波总是定域在一有限范围的空间，相反地平面波则在全部 空间中展布着。因此引入波包的概念，并且可以将它理解为有许多不同的频率和 振幅的平面波叠加形成。通过构造各平面波间复杂的“相加”，总可以把场集中在 空间的一个区域。