x x2
2-1 -1–3 线性插值——程序框图 LINEPLOT(N,X,Y,X0,Y0) DO J=1,N-1 J1=J+1 X0<=X(J1) no CONTINUE yes
J=J-1
T=(X0-X(J))/(x(J1)-x(J)) Y0=Y(J)+T*(Y(J1)-Y(J)) RETURN
令x x
有y a bx
有y a bx
平方根曲线
2-2-2-2 线性模型的推广——应用示例 例1：Arrhenius公式的应用
k Ae
令y ln k , x
Ea RT
ln k ln A
Ea RT
E 1 , a ln A, b a T R
y a bx
(两点式)
Lagrange插值（三点插值,抛物线插值）： xi-1 xi xi+1
( x xi )( x xi 1 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xi 1 )( x xi ) p2 ( x ) yi 1 yi yi 1 ( xi 1 xi )( xi 1 xi 1 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi 1 xi 1 )( xi 1 xi )
No x(Cu) y(Mo) 1 285 4.6 2 290 4.7 3 300 4.7 4 303 4.9 5 310 4.9 6 318 5.1 7 325 5.0 8 335 5.3 9 338 5.4
一元线性回归的数学模型：
y (Mo)
y=ax+b+ε
n个实验点
5.4
5.2
yi=axi+b+εi 回归直线： y=ax+b
i 1 i 1
n Q 2 ( yi a bxi ) 0 a i 1 n Q 2 ( yi a bxi ) xi 0 b i 1
an b xi yi
a xi b xi2 xi yi
（正规方程组）
y a
b
i
b xi n
2-1 -1–4 线性插值——应用示例
开始
输入：数据点X(I),Y(I)，未知点X0
调用线性插值子程序求未知点X0对应的函数值Y0
输出：X0,Y0值
结束 显示程序 显示输入 显示输出
2-1-2-1 一元三点Lagrange插值——问题的提出
例：计算乙醇的平均摩尔体积 实验测得25℃时乙醇溶液的平均摩尔体积 V（cm2mol-1）与乙 m 醇的物质的量分数的关系如下
2-1-1 –2 线性插值——方法原理 定义： 设y =f(x)在区间[a,b]上有意义，且已知在点a<x0<x1<… <xn<b上的值y0, y1,…, yn,若存在一简单函数pn(x),使 pn(xi) = yi (i=0,1, …,n) 成立， 则称pn(x)为 f(x)的插值函数， x0，x1，…，xn为插值节点 区间[a,b]为插值区间 ，求pn(x)的方法称为插值法 y=f(x) y 几何意义： y=p(x)
RETURN
2- 1- 2-4 一元三点Lagrange插值——应用示例
开始 输入：数据点X(I),Y(I)，未知点X0
调用lagrange插值子程序求未知点X0对应的函数值Y0 输出：X0,Y0值
结束
显示程序
显示输入
显示输出
2-2-1-1 一元线性回归——问题的提出 例:铜钼矿中钼对铜含量的线性依赖关系
dpA n rA kA pA dt
● 数学模型中各参数的确定 利用实验得到的全部信息，确定数学模型中的待定参数 例：镍硅藻土上苯加氢合成环己烷是表面反应控制的固体 催 化 剂 上 的 气 相 反 应 。 在 160oC ， 微 分 反 应 器 中 的 初 始反应速率方程为
3 3 ka bHbB pH pB r0 (1 bH pH bB pB ) 4
x 0.0891 0.1153
Vm / cm2mol-1
21.22 22.16
பைடு நூலகம்
计算x=0.1,0.2,0.3,0.4 时的 Vm。
0.1435
0.1739 0.2068 0.2424
23.18
24.32 25.57 26.95
0.2811
0.3234 0.3697 0.4207
28.47
30.15 32.01 34.07
根据k和T数据，可确定指前因子A和活化能Ea。
2-2-2-2 线性模型的推广——应用示例 例2：Clausius-Clapryron方程式的应用
d ln p H 纯组分气-液（气-固）两相平衡的方程式： dT RT 2
上式中：p:T/K时液（固）饱和蒸气压；ΔH：相变热 不定积分：
H 1 ln p ( )C R T
0.4771
36.37
2-1-2-2 一元三点Lagrange插值——方法原理
线性插值公式：二点(xi-1,yi-1),(xi,yi)
yi yi 1 p1 ( x) y yi 1 ( x xi 1 ) xi xi 1 p1 ( x) x xi x xi 1 yi 1 yi xi 1 xi xi xi 1
即
y( x) ( (
k i j i j k
i2
i2
x xj xk x j
)) y k
2-1- 2-2 一元三点Lagrange插值——方法原理
编程难点：如何确定使用哪三 个结点进行插值
y( x) ( (
k i j i j k
i2
i2
x xj xk x j
2-2-2-1 线性模型的推广——方法原理 曲线类型及变换公式
双曲线型
1 b a y x
令y
1 1 , x y x
有y a bx
b 幂指数型 y ax
令y ln y, x ln x
令y ln y, x 1 x 令y ln y
令y
令
离差平方和
y a
b
i
b xi n
xi yi
1 xi yi n 1 xi2 ( xi ) 2 n
b Lxy / Lxx a y bx
2-2-1-2 一元线性回归——方法原理 注意： 1.线性相关系数R—衡量回归方程式与数据相符合的程度。 若R1，则数据点落在直线上。
第二章
实验数据的处理及模型参数的确定
引言：1.问题的提出 ● 从实验数据确定函数关系式，以预测任意x值时的函数y值 ： 20 14.15 25 9.24
例：298K时，SbH3在Sb上的分解的数据如下 t/s pA/kPa 0 101.33 5 74.07 10 51.57 15 33.13
aA 产物
xj xj+1 xj+2
xi-1
xi
xi+1
x
2- 1- 2-3 一元三点Lagrange插值——程序框图
LGRG2(X,Y,N,T,Z) Do J=3,N-1 I=J yes T>X(I) no CONTINUE no
|T-X(I-1)|<=|T-X(I)|
yes I=I-1
P=(T-X(I))* (T-X(I+1))/(X(I-1)-X(I))/(X(I-1)-X(I+1)) Q=(T-X(I-1))*(T-X(I+1))/(X(I)-X(I-1))/(X(I)-X(I+1)) R=(T-X(I-1))* (T-X(I))/(X(I+1)-X(I-1))/(X(I+1)-X(I)) Z=P*Y(I-1)+Q*Y(I)+R*Y(I+1)
LXX=SXX-SX*SX/n,LYY=SYY-SY*SY/n,LXY=SXY-SY*SX/N
SX : X SXX : X SYY : Y
2 2
SY : Y SXY : XY
B=LXY/LXX,A=(SY-B*SX)/N,R=LXY/SQRT(LXX*LYY)
RETURN
2-2-1-4 一元线性回归——应用示例 开始
模型参数 ka ── 表观速率常数 bH ── H2的吸附系数 bB ── C6H6的吸附系数
引言：2.常用的数学方法
插值法
函数关系
● 线性插值 ★ ● Lagrange插值 ● 埃米尔特插值 回归分析
● 一元线性回归★ ● 线性模型的推广★ ★ ● 多元回归 可化为多元线性回归的问题 ● 多项式拟合简介 ● 逐次回归分析 数值微分 相关关系
残差： =yi-（axi+b） εi
5.0
4.8
4.6
280
290
300
310
320
330
340
x (Cu)
2-2-1-2 一元线性回归——方法原理 最小二乘法：
n
εi 第i点残差： =yi-（axi+b）
n 2 i
当残差的平方和为最小时，对应的a、b值是最佳值。
Q ( yi a bxi ) 2
输入：数据点数N 铜与钼的实验数据X(I),Y(I) （I=1，N）
调用一元线性回归子程序计算A，B，R 输出：A，B，R
结束
显示程序
显示输入
显示输出
2-2-2-1 线性模型的推广——方法原理 变量x与y之间存在某种非线性关系
确定曲线类型 （非线性关系）
线性关系
实际 经验
散点图 形状
非线性关系
最小二乘法 确定系数
y
y=p(x) y=f(x)
yi-1 xi-1