◎ D1={李力，王平，刘伟} ={李力，王平，刘伟} m1=3 ◎ D2={男，女} ={男 m2=2 ◎ D3={47,28,30} ={47,28,30} m3=3 ◎ 其中，D1， D2， D3为域名 ，分别表示教师关系中姓 其中， 为域名， 名、性别、年龄的集合。 性别、年龄的集合。
域名无排列次序， 域名无排列次序，如D2={男，女}={女，男} ={男 }={女
关系模型的数据结构 关系的定义和性质 关系数据库的基本概念 关系运算
2.1 关系模型
关系模型就是用二维表格 结构来表示实体及实体 关系模型就是用 二维表格结构来表示实体及实体 之间联系的模型。 之间联系的模型。 关系模型是各个关系的框架的集合， 关系模型是各个关系的框架的集合 ， 即关系模型 是一些表格的格式 ， 其中包括关系名 、 属性名 、 是一些 表格的格式， 其中包括关系名、 属性名、 关键字等。 关键字等。 例如， 例如 ， 教学数据库中教师与课程的关系模型如图 2.1所示。 所示。
2. 该子集中的元素是关系中的元组，用r 表示，关系中元组 该子集中的元素是关系中的元组， 表示， 个数是关系的基数。ห้องสมุดไป่ตู้个数是关系的基数 。 如 （ 李力 ， 男 ） ， （ 王平， 女 ） ， 李力， 王平 ， （刘伟，男）为三个元组，关系Ｔ的基数为3。 刘伟， 为三个元组，关系Ｔ的基数为3
（1）如果一个关系的元组个数是无限的，则称为无限关系； 如果一个关系的元组个数是无限的， （2）如果一个关系的元组个数是有限的，则称为有限关系。 如果一个关系的元组个数是有限的，则称为有限关系。 （3）由于计算机存储系统的限制，我们一般不去处理无限关系，而 由于计算机存储系统的限制，我们一般不去处理无限关系， 只考虑有限关系。 只考虑有限关系。
◎ 1. 元素中的每一个di叫做一个分量(Component)，来 元素中的每一个di叫做一个分量(Component)， 自相应的域（di∈Di） 自相应的域（di∈Di） ◎ 2. 每一个元素（d1，d2，d3，…，dn）叫做一个n元 每一个元素（ dn）叫做一个n 组 （n-tuple） ， 简称 元组（ Tuple） 。 但元组不是di的 tuple） 简称元组 （ Tuple） 但元组不是di的 集合，元组的每个分量（di）是按序排列的。 集合，元组的每个分量（di）是按序排列的。如： ◎ （1，2，3）≠（2，3，1）≠（1，3，2）； ◎ 而集合中的元素是没有排序次序的，如（1，2，3）= 而集合中的元素是没有排序次序的， （2，3，1）=（1，3，2）。
4. 数学上关系是笛卡尔积的任意子集，但在实际应用中关系 数学上关系是笛卡尔积的任意子集， 是笛卡尔积中所取的有意义的子集。 例如在表2 是笛卡尔积中所取的有意义的子集 。 例如在表 2.1 中选取 一个子集构成如下关系， 一个子集构成如下关系，显然不符合实际情况
姓名 李力 李力 性别 男 女
在关系模型中，关系可进一步定义为： 在关系模型中，关系可进一步定义为：
第二章 关系模型
上一章介绍了三种主要的数据模型： 上一章介绍了三种主要的数据模型： 三种主要的数据模型
层次模型 网状模型 关系模型 其中关系模型简单灵活，并有着坚实的理论基础，已 其中关系模型简单灵活，并有着坚实的理论基础，已 成为当前最流行的数据模型。 成为当前最流行的数据模型。
本章主要讲述: 本章主要讲述:
3. 若Di（i=1，2，……n）为有限集，Di中的集合元素个数称为Di的 Di（i=1 ……n 为有限集，Di中的集合元素个数称为Di的 基 数 ， 用 mi （ i=1 ， 2 ， ……n ） 表 示 ， 则 笛 卡 尔 积 i=1 ……n D1×D2×……×Dn的基数M（即元素（d1,d2,……dn）的个数） ……×Dn的基数M 即元素（ ,d2 ……dn）的个数） 为所有域的基数的累乘之积， 为所有域的基数的累乘之积，即 M=
◎ 如上例中的教师—课程数据库的关系模型就是这样建 如上例中的教师— 立的。 立的。
2.2 关系的定义
在关系模型中， 数据是以二维表的形式存在的 ， 在关系模型中 ， 数据是以二维表的形式存在的， 这个二维表就叫做关系。 这个二维表就叫做关系。 关系理论是以 集合代数理论为基础的 ， 因此 ， 关系理论 是以集合代数 理论为基础的， 因此， 我 们可以用集合代数给出二维表的“关系”定义。 们可以用集合代数给出二维表的“关系”定义。 为了从集合论的角度给出关系的定义， 为了从集合论的角度给出关系的定义 ， 我们先引 入域和笛卡尔积的概念。 笛卡尔积的概念。
定义在域D 定义在域 D1 ， D2 ， ……Dn（ 不要求完全相异 ） 上的关系由关 ……Dn （ 不要求完全相异） 系头（Heading）和关系体（Body）组成。 系头（Heading）和关系体（Body）组成。
◎ 关系头：由属性名A1，A2，…，An的集合组成，每个属性Ai正好 关系头：由属性名A An的集合组成，每个属性Ai正好 对应一个域Di（i=1 对应一个域Di（i=1，2，…，n），关系头，也称关系框架，相对 关系头，也称关系框架， 固定，是关系的数据结构的描述。 固定，是关系的数据结构的描述。 ◎ 关系体：是指关系结构中的内容或者数据，并非固定不变，它随 关系体：是指关系结构中的内容或者数据，并非固定不变， 元组的建立、删除或修改而变化。 元组的建立、删除或修改而变化。
2.2.1 域（Domain） Domain） 域是一组具有相同数据类型的值的集合， 域是一组具有相同数据类型的值的集合 ， 又称为 值域。 值域。（用D表示） 表示）
◎ 例如整数、实数、字符串的集合。 例如整数、实数、字符串的集合。
域中所包含的值的个数称为域的基数 （ 域中所包含的值的个数称为域的 基数（ 用 m 表 示）。 关系中用域表示属性的取值范围。 关系中用域表示属性的取值范围。例如：
∏m
i =1
n
i
例如：上述表示教师关系中姓名、 例如：上述表示教师关系中姓名、性别两个域的笛卡尔积为： D1×D2={（李力，男），（李力，女），（王平，男），（王平， ={（李力， 李力， 王平， 王平， 女），（刘伟，男），（刘伟，女）} 刘伟， 刘伟， 其中： 李力、王平、刘伟、 李力、王平、刘伟、男、女都是分量 （李力，男），（李力，女）等是元组 李力， 李力， 其基数M=m1 其基数M=m1×m2=3*2=6 元组的个数为6 元组的个数为6
2.2.3 关系（Relation） 关系（Relation） 笛卡尔积D 笛卡尔积 D1×D2×…×Dn的任一子集称为定义 Dn 的任一子集称为定义 在域D 在域 D1 ， D2 ， …Dn 上的n 元 关系 （ Relation ） ， Dn上的 n 关系（ Relation） 可用R 可用R（D1，D2……Dn）表示 ……Dn） ◎ 如上例D1×D2笛卡尔积的子集可以构成教师关系T1， 如上例D 笛卡尔积的子集可以构成教师关系T
3. 同样可以把关系看成一个二维表。其中， 同样可以把关系看成一个二维表。其中，
（1）表的框架由域Di（i=1，2，……n）构成； 表的框架由域Di（i=1 ……n （2）表的任意一行对应一个元组； （3）表的每一列来自同一域； （4）域可以相同，为了加以区别，每列起一个名字，称为属性，n 域可以相同，为了加以区别，每列起一个名字，称为属性， 目关系有n 个属性，属性的名字唯一，属性的取值范围Di（i=1 目关系有n 个属性，属性的名字唯一，属性的取值范围Di（i=1 ， 2，…，n）称为值域 称为值域 （5）具有相同关系框架的关系成为同类关系，例如，有另一个关系 具有相同关系框架的关系成为同类关系，例如， T2，如表2.3所示： 如表2 姓名 性别 张雪 女 张兰 女 T1和T2是同类关系。 是同类关系。
2.2.2 笛卡尔积(Cartesian Product) 笛卡尔积(Cartesian 给定一组域D 给定一组域 D1 ， D2 ， … ， Dn（ 它们可以包含相 Dn （ 同的元素， 即可以完全不同 ， 同的元素 ， 即可以完全不同， 也可以部分或全部 相 同 ） 。 D1 ， D2 ， … ， Dn 的 笛 卡 尔 积 为 D1×D2×……×Dn={ （ d1 ， d2 ， … ， dn ） ……× |di∈Di，i=1，2，…，n}。 |di∈Di，i=1 n}。 由定义可以看出，笛卡尔积也是一个集合。 由定义可以看出，笛卡尔积也是一个集合。 其中：
由上例可以看出， 由上例可以看出 ， 在一个关系中可以存放两类信 息：
◎ 一类是描述实体本身的信息 ◎ 一类是描述实体（关系）之间的联系的信息 一类是描述实体（关系）
在层次模型和网状模型中， 把有联系的实体 （ 在层次模型和网状模型中 ， 把有联系的实体（ 元 组 ） 用指针链接起来， 实体之间的联系是通过指 用指针链接起来 ， 实体之间的联系是通过 指 针来实现的。 来实现的。 而关系模型则采用不同的思想， 即用 二维表来表 而关系模型则采用不同的思想 ， 即用二维表 来表 示实体与实体之间的联系， 示实体与实体之间的联系 ， 这就是关系模型的本 质所在。 质所在。 所以， 在建立 关系模型时 所以 ， 在建立关系模型 时 ， 只要把的所有的实体 及其属性用关系框架来表示， 及其属性用关系框架来表示 ， 同时把实体之间的 关系也用关系框架来表示， 关系也用关系框架来表示 ， 就可以得到一个关系 模型。 模型。
2.3 关系的性质
尽管关系 与 二维表格、 传统的 数据文件是非常类 尽管 关系与 二维表格 、 传统的数据文件 是非常类 似的，但它们之间又有重要的区别。 似的，但它们之间又有重要的区别。 严格地说， 关系是种规范化了的 二维表中行的集 严格地说 ， 关系 是种规范化了的二维表中行的集 合 ， 为了使相应的数据操作简化， 在关系模型中 ， 为了使相应的数据操作简化 ， 在关系模型中， 对关系作了种种限制， 对关系作了种种限制，关系具有如下特性：
教师关系Ｔ