近世代数模拟试题
单项选择题（每题5分，共25分）
1、在整数加群（Z+）中，下列那个是单位元（）.
A. 0
B. 1
C. －1
D. 1/n , n 是整数
2、下列说法不正确的是（）.
A . G只包含一个元g,乘法是gg= g。

G对这个乘法来说作成一个群
B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群
C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群
D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群
3.如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是（）.
A . 反身性B. 对称性C. 传递性D. 封闭性
4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（).
A. Z 没有生成元.
B. 1 是其生成元.
C. －1 是其生成元.
D. Z 是无限循环群.
5. 下列叙述正确的是（）。

A. 群G是指一个集合.
B. 环R 是指一个集合.
C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律, 并且单位元,
逆元存在.
D. 环R 是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律, 并且单位元,
逆元存在.
二. 计算题（每题10 分，共30 分）
1.设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成
3
的群，试求中G中下列各个元素c
,cd ，
1
的阶.
2. 试求出三次对称群
S3 (1),(12),(13),(23),(123),(132) 的所有子群.
3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗若是,
请给予证明.
证明题（第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45 分）.
1. 证明: 在群中只有单位元满足方程
X.
2. 设G是正有理数乘群, G是整数加群.证明:
是群G到G的一个满同态，其中a,b是整数，而（ab,2）1.
3. 设S是环R的一个子环.证明：如果R与S都有单位元，但
不相等，则S的单位元必为R的一个零因子.
近世代数模拟试题答
案
2008 年11
月
一、单项选择题（每题5分，共25分）
1. A
2. D
3. D 4 . A
. 计算题（每题10 分，共30
分） 1. 解：
易知c 的阶无限，
d 的阶为2. (3 分）
3 分）
但是
cd 的阶有限，是 2.
2. 解：S3的以下六个子集2分）2 分）
H1 (1) , H2
(1),(12
) , H3 (1),(13
) ,
H4 (1),(23) , H5 (1),(123),(132) ,
H6
S3 7 分）对置换乘法都是封闭的，因此都是S3的子集. 3 分）3.解：e是R的单位元。

事实
上，
任取a,b R,则因e是R的左单位元，故
(ae a e)b a(eb) ab eb ab ab b b,
即ae a e也是R的左单位元。

故有题设得
ae a e e, ae
e是R的单位元.
三、证明题（每小题15分共45分）a .
1. 证明：
设e是G的单位元，则e显然满足所说的方程另外，，则有
即只有
2.证明: （3 分）
1 2 1
a a a a, （5
分）e满足方程（2
分）
又由于
显然是G到G的一个满射
当（ab,2）1,
（cd ,2）
（abcd,2）
（2n - 2m d）
a
（2n 6
a
（2
m
（3
分）
1时
有
Q
）
.
c
是群G到G的一个同态满射。

（4
分）
bd
——）
n
ac
（6
分）
（2
分）
3 证明：
分别用e和e表示R与S的单位元，且e
于是e不是R的单位元。

因此，存在0 a （3 分）
ae 女口果ae a，贝U
ae
（ae R，使
a 或ea a a 0,且
a）e ae ae 0 , （5 分）
即e是R的（右）零因子。

同理，如果ea a ,则e是R的（左）零因子.
（4
分）
（3 分）
（5 分）。