第五章 局域中心光跃迁中的电声子耦合问题 我们在讨论理想晶体的带间间接跃迁时，已经遇到过声子协助的光跃迁。

这种跃迁是由光-电子和电子-声子相互作用共同引起的。

在与杂质或缺陷相联系的局域中心的光跃迁中，同样会有声子协助的跃迁。

与理想晶体情形不同,这种局域中心的电子能态，不再能用确定的波矢来标记，准动量守恒这一跃迁选择定则自然不再有效。

这种电子态的能量，不像晶体中电子能带那样准连续地分布在一定允许范围内，而是呈分立的分布。

这些分立能级间的跃迁本该给出窄的光谱线，但电-声子相互作用使光跃迁过程可以有声子参与,导致谱线变宽，或者，出现所谓的声子伴线和声子边带。

而且，由于相互作用的大小与晶格振动的强弱（声子数的多少）有关，也即与温度有关，因而与之相关的光跃迁过程往往表现出明显的温度依赖关系。

5.1 线宽和线型5.1.1 能级寿命与光谱线的线型和线宽局域中心分立能级间跃迁发出的光，并非一系列理想的单色光（线谱），每条谱线都有一定的光谱分布（称之为线型）。

相应的，每条光谱线都有一定的光谱宽度，简称为线宽，它是线型的一个特征参数。

谱线的线宽可以由多种原因造成。

我们已经看到，与外界没有其它（除了辐射场）相互作用的孤立中心，如果处在激发态，都会通过自发辐射回到基态。

也即，中心处于激发电子态的时间不是无限长，而是有一有限长的寿命。

由测不准关系E t ∆∆可知，这样的状态的能量不是完全确定的，或说能级有一定的宽度。

可以用能级寿命τ作为时间不确定程度t ∆的估计，即tτ∆。

于是，能级的能量不确定程度（宽度）就为E τ∆，相应跃迁的光谱线也就有一定的宽度1ωτ∆。

考虑一个由同类孤立中心组成的系统。

为简单起见，假定中心只有基态和激发态两个能级。

假定时刻0t =时，处于激发态的中心数为0N ，且在0t >时，没有外界对该系统的激发。

由于存在到基态的自发辐射过程，处在激发态的中心数()N t 将随时间减少。

设一个处于激发态的中心的自发辐射速率为W ，激发中心数()N t 随时间的变化（衰减）由下列速率方程描述：()()dN t dt N t W =- （5.1-1） 不难解得激发中心数随时间衰减遵循简单的e 指数规律：0()exp()N t N Wt =- （5.1-2） 由此可以得到一个中心处在激发态的平均寿命为：0000111()()t t dN N t dt N N W τ∞∞==-==⎰⎰ （5.1-3） 对允许跃迁，8110W s -，相应的10ns τ。

寿命与谱线宽度和线型的关系，可以在经典物理的框架下予以说明。

考虑激发态到基态的光跃迁。

荧光强度正比于跃迁速率和激发态中心数：00()()exp()exp()J t N t W N W t J t ττ==-≡- （5.1-4） 它随时间指数衰减，意味着此光波是减幅电磁振荡：(光强正比于场振幅平方)200()e cos t A t A t τω-=， （5.1-5） 这一减幅振荡可以展开为等幅振荡的线性叠加（傅立叶展开）：0()()i t A t E e d ωωω∞=⎰， （5.1-6） 其中，()E ω为光场()A t 所包含的频率ω的电磁波分量的振幅：2000000()()(cos )11()12()12i t t i t E A t e dt A e t e dt i i ωτωωωωωτωωτ∞∞---==⎛⎫=+⎪-+++⎭⎰⎰ （5.1-7）在0ω附近，00«ωωω-的范围里，002ωωω+≈。

对光波，141010s ω->，通常都满足条件01»ωτ。

因此，()E ω表达式中的第二项比第一项小得多，可以略去。

于是谱线强度的光谱分布为：00220()()(12)J J ωωωωτ-=-+ （5.1-8）或表示成归一化的光谱线线型0()g ωω-（它满足00()1g d ωωω∞-=⎰）：022011()2()(12)g ωωπτωωτ-=-+ （5.1-9）这种线型常称为罗伦兹（Lorentzian ）线型。

上面的讨论表明：由寿命决定的谱线线型（光谱分布）为罗伦兹线型。

谱线线型的一个重要参数是谱线的宽度，常用线型中强度为峰值之半的两个频率的间距δω，称为半高全宽（Full Width at Half Maximum -- FWHM ），来衡量谱线的宽度。

对罗伦兹线型， 00001()()122g g ωωωωωωτ-=-⇒-=，于是得谱线宽度： 1W δωτ== （5.1-10） 上式 正是 测不准关系的结果。

上面考虑的是激发态到基态的跃迁。

一般来说，处于激发态中心可以跃迁到若干个较低的激发态，总的跃迁速率是各个跃迁速率之和 iiW W =∑，它决定激发态寿命和荧光寿命，以及与寿命相联系的线宽。

如果跃迁的下能级不是基态，其寿命也是有限的，因而能级也有一定的宽度，这时，相应谱线的宽度就包含来自跃迁初末态能级宽度的贡献：11f i i f E E ωττ∆∆∆≈+=+，其中的下标,i f 分别代表跃迁的初态和末态。

最后要说明的是，上面关于寿命与线型的关系，是就自发辐射的情形讨论的，这种由自发辐射决定的谱线宽度称之为自然线宽。

这样的线宽是很窄的，即使对允许跃迁，811=10W s δωτ-≈=，也比光频波的141010s ω->小得多。

此外，上面关于寿命和光谱线宽的讨论不光适用于自发辐射情形，对无辐射退激发（或消布居）的贡献同样适用。

5.1.2 谱线的宽化：均匀宽化与非均匀宽化由自发辐射决定的自然线宽是谱线宽度的下限。

这一宽度相当小，已到了目前实验测量技术能分辨的极限了。

我们实际观测到的线宽，多半比这大得多。

使谱线变宽或宽化的原因有多种，可分为均匀宽化与非均匀宽化两类典型的情形。

粗略地说，一个由同类中心组成的体系，每个中心所处的物理环境不同，发射的光子能量也会有小的差异，而所观测到的是大量中心的发射的叠加，因而所发射光子能量有个分布，呈现为宽化的光谱，这称为非均匀宽化。

另一种情形是所有中心都因同样的物理原因发射同样的宽化的光谱，是为均匀宽化。

1. 均匀宽化：晶体中局域中心谱线均匀宽化的原因是电子与晶格振动（声子）间的相互作用，也常称之为电子-声子碰撞。

由于这一相互作用，电子与声子系的状态将会发生改变，但总能量是守恒的。

电声子相互作用可以使所考察激发电子态的布居数减小，消布居（depopulation）过程变快，能级寿命变短，相应的谱线宽度就变大。

也可以不影响能级的布居数，但使发射的电磁波位相发生变化，称之为失相（dephasing）过程，它也使谱线变宽。

对晶体中处于等价格位的同类发射中心，都处在相同的晶格环境中，与晶格振动的相互作用相同，各中心的宽化也就相同，也即所导致的宽化是均匀宽化。

这两种机制造成的宽化，谱线的线型为罗伦兹线型。

下面对这两种过程做些说明。

（1） 消布居过程由电声子相互作用引起的电子态消布居过程，是否容易进行，与中心的能级结构有关。

这种过程要能有效进行，要求存在与所考察电子态能量相近（声子能量的量级）的其它电子态。

这样，它们间的跃迁涉及的声子数少（为低阶微扰过程），发生的几率就大。

下面对几种主要的电声子消布居过程做一介绍。

1）直接过程：声子的吸收和发射中心的电子态从一个能级到另一个能级的跃迁，是通过电声子相互作用，中心吸收或发射一个或多个声子来完成的。

这样的过程中，最重要的当然是单声子过程。

图5.1-1示意地给出了这一类过程的一个例子：单声子吸收过程。

在这过程中，一个声子q ω被湮灭了，同时，处在低激发态l 的中心则变为处在相邻的高激发态h 。

这一跃迁过程可以表示为：,,1q q l n h n →-。

过程中能量守恒，设中心的两个能级间的能量差为E ∆，则有h l q E E E ω∆=-=。

声子过程的速率依赖于能参与过程的声子模中的声子数，因而依赖于温度。

对单声子吸收过程，如果E ∆很小，参与过程的只能是声学声子。

按德拜(Debye)模型，q s q ω=v （假定各向同性），其中s v 为声速。

对每一支声学模，其模密度为 223()2q q s Vg ωωπ=v 。

即，对能级间隔E ∆很小的中心，能参与过程的声子模的数量很小。

进而考虑到热平衡时，每个模中的平均声子数： ()1exp 1q q B n k T ω=-， 于是可得q ω图5.1-1 单声子直接过程示意图。

右侧有黑点标记的能级为中心所处的电子态。

声子数按频率的分布密度为 ()2()exp1q q q B f k T ωωω∝-。

可见对小的q B E k T ω∆=，()22()exp 1q q q q q B q B f k T k T ωωωωωω∝∝-，→ 发生单声子直接过程的几率较小。

2）声子拉曼（Raman ）过程：声子的非弹性散射在电子能级间隔很小，因而直接过程几率很小的情形，声子拉曼散射会起明显作用。

声子拉曼过程类似于光的拉曼散射，入射一个声子q ω，出射一个具有不同能量和动量的另一个声子q ω'，同时中心的电子态发生改变。

过程中能量守恒，电子态能量改变等于两个声子的能量差q q Eωω'∆=-。

以电子初态为下能级l 的情形为例，这一跃迁可表示为：,,,1,1q q q q l n n h n n ''→-+。

图5.1-2画出了这一过程的示意图。

这一过程是比直接过程高一阶的微扰过程，一般来说要弱得多。

但在E∆很小的情形，直接过程的速率很小。

而对拉曼过程，参与的两个声子的能量可以大，只要声子能量差等于E ∆就行，可参与的声子模就很多，速率可能比直接过程更大。

qωq ω'图5.1-2声子拉曼过程示意图3）声子共振Raman 过程（Orbach 过程）：如果存在真实的第三个电子能级，就可发生共振Raman 过程。

它相当于两个直接过程的叠加。

考虑如图5.1-3所示的中心，激发态有三个相近的能级，其中能级1和2的能量间距（用1,2E ∆表示）较小。

我们以中心开始时处于能级1的情形为例，中心可以先吸收一个声子1,3q E ω=∆，跃迁到能级3，然后放出一个声子3,2q E ω'=∆，跃迁到能级2。

通过这一途径，中心由能级1到2，可能比直接过程更有效。

（2） 失相过程电子-声子相互作用的另一效应是不影响布居数，但是改变了状态的相位。

可以用经典物理中的电谐振子模型来说明。

一个纯的失相过程，可以表示为谐振子的简谐振动在声子碰撞的瞬间相位发生突变，而振幅不变。

相邻两次碰撞间的时间间隔τ（0τ<<∞）的几率 分布为：221()T p e T ττ'-='， （5.1-11） 其中2T '为两次碰撞间的平均时间间隔，等于碰撞频率的倒数。