高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题)51. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。
求：AM 与CN 所成的角的余弦值；解析：(1)连接DM,过N 作NE ∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 与CN 所成的角。
∵N 为AD 的中点, NE ∥AM 省 ∴NE=21AM 且E 为MD 的中点。
设正四面体的棱长为1， 则NC=21·23= 43且ME=21MD=43在Rt △MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2=163+41=167 ∴cos ∠CNE=3243432167)43()43(222222-=⋅⋅-+=⋅⋅-+NECN CENE CN ,又∵∠CNE ∈(0,2π) ∴异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为32. 注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。
2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。
最后作答时，这个角的余弦值必须为正。
52. .如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7，31==EC BE FD AF 。
求异面直线AB 与CD 所成的角。
解析：在BD 上取一点G ，使得31=GD BG ，连结EG 、FG 在ΔBCD 中，GDBGEC BE =，故EG//CD ，并且41==BC BE CD EG ， ABC DE FG所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且43==AD DF AB FG ， 故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得 cos ∠FGE=215327532222222-=⋅⋅-+=⋅⋅-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。
另一方面，由前所得EG//CD ，FG//AB ，所以EG 与FG 所成的锐角等于AB 与CD 所成的角，于是AB 与CD 所成的角等于60°。
53. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=c ，AB=a ，AD=b ，且a ＞b ．求AC 1与BD 所成的角的余弦．解一：连AC ，设AC ∩BD=0，则O 为AC 中点，取C 1C 的中点F ，连OF ，则OF ∥AC1且OF=21AC1，所以∠FOB 即为AC1与DB 所成的角。
在△FOB 中，OB=2221b a +，OF=22221c b a ++，BE=224121c b +，由余弦定理得 cos ∠OB=222222222222412)41()(41)(41c b a b a c b c b a b a ++⋅+⋅+-++++=)2222222)((cb a b a b a +++-解二：取AC 1中点O 1，B 1B 中点G ．在△C 1O 1G 中，∠C 1O 1G 即AC1与DB 所成的角。
解三：．延长CD 到E ，使ED=DC ．则ABDE 为平行四边形．AE ∥BD ，所以∠EAC 1即为AC 1与BD 所成的角．连EC 1，在△AEC1中，AE=22b a +，AC1=222c b a ++，C1E=224c a +由余弦定理，得ED 1C 1B 1A 1ABDCOB 1DGcos ∠EAC 1=2222222222222)4()()(cb a b ac a c b a b a ++⋅+⋅+-++++=)2222222)((cb a b a a b +++-＜0所以∠EAC 1为钝角．根据异面直线所成角的定义，AC 1与BD 所成的角的余弦为))((2222222c b a b a b a +++-54. 已知AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直α，B 为垂足，则 直线AB 是斜线在平面α内的射影，设AC 是α内的任一条直线，解析：设AO 与AB 所成角为1θ，AB 与AC 所成角为2θ，AO 与AC 所成角为θ，则有21cos cos cos θ⋅θ=θ。
在三棱锥S —ABC 中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90，29,3,2===SB BC AC ，求异面直线SC 与AB 所成角的大小。
（略去了该题的1,2问）由SA ⊥平面ABC 知，AC 为SC 在平面ABC 内的射影， 设异面直线SC 与AB 所成角为θ， 则 BAC SCA ∠⋅∠=θcos cos cos ， 由29,3,2===SB BC AC 得2,32,17===SC SA AB∴ 21cos =∠SCA ， 172cos =∠BAC ， ∴ 1717cos =θ， 即异面直线SC 与AB 所成角为 1717arccos 。
55. 已知平行六面体1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是菱形，且ACSBB AHCDD 1B 1A 1C 16011=∠=∠=∠BCD CD C CB C ，证明 BD C C ⊥1。
（略去了该题的2，3问）解析： 设1C 在平面ABCD 内射影为H ，则CH 为C C 1在平面ABCD 内的射影，∴ DCH CH C CD C ∠⋅∠=∠cos cos cos 11，∴ BCH CH C CB C ∠⋅∠=∠cos cos cos 11，由题意 CB C CD C 11∠=∠， ∴BCH DCH ∠=∠cos cos 。
又 ∵),0[,π∈∠∠BCH DCH∴BCH DCH ∠=∠， 从而CH 为DCB ∠的平分线， 又四边形ABCD 是菱形， ∴BD CH ⊥ ∴C C 1与BD 所成角为90， 即BD C C ⊥156.. 在正四面体ABCD 中，E ，F 分别为BC ，AD 的中点， 求异面直线AE 与CF 所成角的大小。
解析： 连接BF 、EF ，易证AD ⊥平面BFC ， ∴ EF 为AE 在平面BFC 内的射影， 设AE 与CF 所成角为θ，∴ CFE AEF ∠⋅∠=θcos cos cos ，设正四面体的棱长为a ，则a BF CF AE 23=== ， 显然 EF ⊥BC ， ∴ a EF 22=， BCADEF∴ 36cos ==∠AE EF AEF ， 36cos ==∠CF EF AFE ， ∴ 32cos =θ， 即AE ∴与CF 所成角为 32arccos 。
57. 三棱柱111B A O OAB -，平面11O OBB ⊥平面OAB ，90,601=∠=∠AOB OB O ，且3,21===OA OO OB ，求异面直线B A 1与1AO 所成角的大小，（略去了该题的1问）解析： 在平面1BO 内作1OO BC ⊥于C ，连C A 1，由平面⊥11B BOO 平面AOB ，90=∠AOB 知，AO ⊥平面11B BOO ， ∴ BC AO ⊥，又 O OO AO =⋂1， ∴ BC ⊥平面11A AOO ，∴ C A 1为B A 1在平面11A AOO 内的射影。
设B A 1与1AO 所成角为θ，C A 1与1AO 所成角为2θ，则21cos cos cos θ⋅∠=θC BA ，由题意易求得 7,2,311===B AC A BC ，∴ 72cos 111==∠B A C A C BA ， 在矩形11A AOO 中易求得C A 1与1AO 所成角2θ的余弦值：147cos 2=θ， BOO 1CAB 1A 1∴ 71cos cos cos 21=θ⋅∠=θC BA ， 即B A 1与1AO 所成角为 71arccos 。
58. 已知异面直线a 与b 所成的角为50，P 为空间一定点，则过点P 且与a ，b 所成的角均是30的直线有且只有（ ）A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条解析： 过空间一点P 作'a ∥a ，'b ∥b ，则由异面直线所成角的定义知：'a 与'b 的交角为50，过P 与'a ，'b 成等角的直线与a ，b 亦成等角，设'a ，'b 确定平面α，'a ，'b 交角的平分线为l ，则过l 且与α垂直的平面（设为β）内的任一直线'l 与'a ，'b 成等角（证明从略），由上述结论知：'l 与'a ，'b 所成角大于或等于l 与'a ，'b 所成角25，这样在β内l 的两侧与'a ，'b 成 30角的直线各有一条，共两条。
在'a ，'b 相交的另一个角 130内，同样可以作过130角平分线且与α垂直的平面γ，由上述结论知，γ内任一直线与'a ，'b 所成角大于或等于65，所以γ内没有符合要求的直线，因此过P 与a ，b 成30的直线有且只有2条，故选（B ）59. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ） A.平行 B.相交C.异面D.以上都有可能 解析：D60. l 1、l 2是两条异面直线，直线m 1、m 2与l 1、l 2都相交，则m 1、m 2的位置关系是（ ） A.异面或平行 B.相交 C.异面 D.相交或异面 解析：D61. 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,与棱AA’异面的直线共有几条（）A.4B.6C.8D.10解析：A62.在正方体ABCD-A’B’C’D’中12条棱中能组成异面直线的总对数是（）A.48对B.24对C.12对D.6对解析：BAA’有4条与之异面,所以,所有棱能组成4×12=48对,但每一对都重复计算一次,共有24对.63.. 正方体ABCD-A’B’C’D’中,异面直线CD’和BC’所成的角的度数是（）A.45°B.60°C.90°D.120°解析：B∠AD’C=60°即为异面直线CD’和BC’所成的角的度数为60°64.异面直线a、b，a⊥b，c与a成30°角，则c与b成角的范围是（）A.π3,π2[]B.π6,π2[]C.π6,2π3[]D.π3,2π3[]解c在位置c2时,它与b成角的最大值为90°,直线c在c1位置时,它与b成角的最小值是60°65..如图，空间四边形ABCD的各边及对角线长都是1，点M在边AB上运动、点Q在边CD上运动，则P、Q的最短距离为（）解析：B当M,N 分别为中点时。
因为AB, CD 为异面直线，所以M, N 的最短距离就是异面直线AB,CD 的距离为最短。