例、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
∴参数方程为
x 1 cos y 3 sin
(θ为参数)
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0) 是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆 周运动时，求点M的轨迹的参数方程。
(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:
( x 1) 4 y为所求.
2
小结：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y都是某个变数t的函数
x f (t ), （2） y g (t ).
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上，那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程， 系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
选修4-4 坐标系与参数方程
信宜第二中学 高二数学1、2班
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
考虑到＝t，也可以取为参数，于是有 x r cos { (为参数) y r sin 这也是圆心在原点 O，半径为r的圆的参数方程 其中参数的几何意义是OM 0绕点O逆时针旋转 到OM的位置时，OM 0转过的角度。
圆的参数方程的一般形式
以上是圆心在原点的圆 的参数方程，它对应的 普通方程是x y r , 那么，圆心在点 o( x0 , y0 )
投方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
y 500
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
o
x 100t , (x,y) 1 2 2 （ g=9.8m/s ) y 500 gt . 2 令y 0, 得t 10.10s. x 代入x 100t, 得 x 1010m. 所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
25 ( , 0); C、(1, 3); A、（1，4）；B、 16
25 D、 ( , 0); 16
2、方程{
x sin y cos 2
(为参数)表示的曲线上
(
的一个点的坐标是
C
)
1 1 1 1 A、 (2,7) B、 ( , )，C、 ( , ), D(1,0) 3 2 2 2
x 2 cos 5 2、指出参数方程 { (为参数)所 y 3 2 sin 表示圆的圆心坐标、半 径，并化为普通方程。
( x 5) ( y 3) 4
2 2
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信宜第二中学 高二数学1、2班
x cos 3, 由参数方程 ( 为参数)直接判断点M 的轨迹的 y sin 曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通 方程，则比较简单。
思考：为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆 的参数方程？
练习: 2、曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.
2 x t A、 4 y t
分析: 在y=x2中，x∈R, y≥0， 在A、B、C中，x,y的范围都
发生了变化，因而与 y=x2不等价； 而在Ｄ中，
x sin t B、 2 y sin t
x t C、 y t
x t D、 2 y t
x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，
x t 且以 2 y t
代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值 范围保持一致。否则，互化就是不等价的.
x2 y 2 例3 求椭圆 1 的参数方程。 9 4 cos 2 sin 2 1 (1)设x=3cos，为参数； 令 x cos , y sin 3 2 x 3cos 为参数 y 2sin
(2)设y=2t，t为参数.
x 3 1 t2 x －3 1 t 2 （2）参数方程是 或 y 2t y 2t
(2)因为：x sin cos 所以x 2, 2
2 sin(

4
)
. 所以普通方程是x 2 y , x 2, 2
练习、将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3 cos (1) y 3 sin
x sin (2) y cos2
由参数方程得： cos x 3 2 2 2 2 ,sin cos ( x 3) y 1 sin y 所以点M 的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
参数方程和普通方程的互化：
（1）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程 如：①参数方程
小
引入参数 普通方程 消去参数
结
参数方程
例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各 表示什么曲线？
x= t 1 (1) (t为参数) y 1 2 t
解： (1)因为x t 11
x= sin cos (2) ( 为参数). y 1 sin 2
所以普通方程是y 2 x （ 3 x 1) 这是以（1， 1）为端点的一条射线（包括端点）
y P
M
Q

o
x
解：设点M的坐标是( x, y )，xOP , 则点 P的坐标是(2 cos ,2 sin ),由中点坐标公式得： 2 cos 6 2 sin x cos 3, y sin 2 2 所以，点M的轨迹的参数方程是 { x cos 3 y sin (为参数)
表示（ ） B
（A）双曲线的一支, 这支过点（1,1/2）： （B）抛物线的一部分, 这部分过（1,1/2）： （C）双曲线的一支, 这支过点（–1, 1/2) （D）抛物线的一部分, 这部分过（–1,1/2)
小结: 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常 见方法有三种： 1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消 去参数 2.三角法：利用三角恒等式消去参数 3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,从 整体上消去。 化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中注 意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取 值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。
可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
x t , ②参数方程 （t为参数） y 2 t 4.
x a r cos , 消去参数 y b r sin .
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程：y=2x-4 （x≥0）
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保 持一致。 否则，互化就是不等价的.
训练2：
已知曲线C的参数方程是 点M(5,4)在该 曲线上. （2）求曲线C的普通方程. 解: (1)由题意可知:
x 1 2t , (t为参数,a R ) 2 y at .
（1）求常数a;
1+2t=5 at2=4 x=1+2t y=t2
解得:
a=1 t=2
∴ a=1
x 1 由第一个方程得: t 2 x 1 2 ) , 代入第二个方程得: y ( 2
参数方程和普通方程的互化：
（2）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程
x t, （t为参数） y 2t 2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x t an , （为参数） y cot .
x=t+1/t
(3)
y=t2+1/t2
步骤：（1）消参；
（2）求定义域。
（1）（x-2）2+y2=9 （2）y=1- 2x2（- 1≤x≤1） （3）x2- y=2（X≥2或x≤- 2）
例２、求参数方程
x | cos sin |, 2 2 (0 2 ) y 1 (1 sin ) 2
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明 显意义。 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
变式: 一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾 区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重 力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？ （精确到1m）
2 2 2
半径为r的圆的参数方程又是怎 么样的呢？
{
x x0 r cos y y0 r sin
( 为参数)
2 2 2
对应的普通方程为( x x0 ) ( y y0 ) r
由于选取的参数不同，圆有不同的参 数方程，一般地，同一条曲线，可以 选取不同的变数为参数，因此得到的 参数方程也可以有不同的形式，形式 不同的参数方程，它们表示 的曲线可 以是相同的，另外，在建立曲线的参 数参数时，要注明参数及参数的取值 范围。
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