参数方程 考点要求1 了解参数方程的定义。

2 分析直线，圆，圆锥曲线的几何性质。

会选择适当的参数，写出他们的参数方程。

并理解直线参数方程标准形式中参数的意义。

3掌握曲线的参数方程与普通方程的互化。

考点与导学1参数方程的定义：在取定的坐标系中。

如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变量t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f x (t ∈T) （1） 这里T 是)(),(t g t f 的公共定义域。

并且对于t 的每一个允许值。

由方程（1）所确定的点),(y x M 。

都在这条曲线上；那么（1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数t 叫做参数。

2过点),,(000y x p 倾斜角为α的直线l 的参数方程（I ）⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）（i ）通常称（I ）为直线l 的参数方程的标准形式。

其中t 表示),,(000y x p 到l 上一点),(y x p 的有向线段p 0的数量。

t>0时，p 在0p 上方或右方；t<0时，p 在0p 下方或左方，t=0时，p 与0p 重合。

（ii ）直线的参数方程的一般形式是：⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）这里直线l 的倾斜角α的正切ba =αtan （00900==αα或时例外）。

当且仅当122=+b a 且b>0时. （1）中的t 才具有（I ）中的t 所具有的几何意义。

2 圆的参数方程。

圆心在点),,(00'y x o 半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）3 椭圆12222=+by a x 的参数方程。

⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数） 4 双曲线12222=-b y a x 的参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）5 抛物线px y 22=的参数方程。

⎩⎨⎧==pty pt x 222（t 为参数）例1 已知某曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=221aty tx （其中t 是参数，R a ∈）,点M （5，4）在该曲线上。

（1）求常数a ；（2）求曲线C 的普通方程。

解：（1）由题意可知有⎩⎨⎧==+45212at t 故 ⎩⎨⎧==12a t ∴1=a （2）由已知及（1）可得，曲线C 的方程为⎩⎨⎧=+=221ty t x 由第一个方程得21-=x t 代入第二个方程得：2)21(-=x y 。

即y x 4)1(2=-为所求。

〔点评〕 参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。

若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过)(),(t g y t f x ==。

根据t 的取值范围导出y x ,的取值范围。

例2 圆M 的参数方程为03sin 4cos 4222=+--+R Ry Rx y x αα（R>0）.(1)求该圆的圆心的坐标以及圆M 的半径。

（2）当R 固定，α变化时。

求圆心M 的轨迹。

并证明此时不论α取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆。

解：（1）依题意得 圆M 的方程为222)sin 2()cos 2(R R y R x =-+-αα 故圆心的坐标为M （R R R 半径为).sin 2,cos 2αα。

（2）当α变化时，圆心M 的轨迹方程为⎩⎨⎧==ααsin 2cos 2R y R x （其中α为参数）两式平方相加得2224R y x =+。

所以所有的圆M 的轨迹是圆心在原点。

半径为2R 的圆由于RR R R R R R R R R +==+-==+2)sin 2()cos 2(32)sin 2()cos 2(2222αααα所以所有的圆M 都和定圆222Ry x =+外切，和定圆2229R y x =+内切。

〔点评〕本题中所给的方程中含有多个参数，像这样的问题有时容易分不清哪个是真正的参数，究竟在具体的题目中哪个是真正的参数应视题目给定的条件，分清参数。

例3已知A ，B 分别是椭圆193622=+y x 的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求∆ABC 的重心的轨迹的普通方程。

解：由动点C 在椭圆上运动，可设C 的坐标为（6cos θ,3θsin ）,点G 的坐标为),(y x .依题意可知：A （6，0），B （0，3） 由重心坐标公式可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+=++=θθθθsin 13sin 330cos 223cos 606y x 由此得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-)2(sin 1)1(cos 22θθy x 得22)2()1(+ 1)1(4)2(22=-+-y x 即为所求。

〔点评〕①本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性。

运用参数方程显得很简单。

运算更简便。

常用于解决有关最值问题。

②“平方法”是消参的常用方法。

例4求经过点（1，1）。

倾斜角为0135的直线截椭圆1422=+y x 所得的弦长。

解：由条件可知直线的参数方程是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y tx 221221（t 为参数）代入椭圆方程可得： 1)221(4)221(22=++-t t 即0123252=++t t 设方程的两实根分别为21,t t 。

则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+525262121t t t t 则直线截椭圆的弦长是 5264)(2122121=-+=-t t t t t t 〔点评〕利用直线参数方程的几何意义求弦长的常用方法。

但必须注意：直线的参数方程必须是标准形式。

即 ⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00（t 为参数）当122=+b a 且b>0时才是标准形式。

若不满足122=+b a 且b>0两个条件。

则弦长为 d=212)(1t t ab -+〔解题能力测试〕1 已知某条曲线的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1(21)1(21a a y aa x 其中a 是参数。

则该曲线是（ ）A 线段B 圆C 双曲线的一部分D 圆的一部分2 已知某条曲线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=12322t y t x )50(≤≤t 则该曲线是（ ）A 线段B 圆弧C 双曲线的一支D 射线3实数y x ,满足191622=+y x ，则y x z -=的最大值为： ；最小值为 。

4已知直线l 的斜率为1-=k .经过点)1,2(0-M。

点M 在直线上，以−−→−MM 0的数量t 为参数.则直线l 的参数方程为： 。

5 已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+-=+=ααcos 2sin 1t y t x （t 为参数） 其中实数α的范围是),2(ππ。

则直线l 的倾斜角是： 。

〔潜能强化训练〕 1 在方程⎩⎨⎧==θθ2cos sin y x （θ为参数）所表示的曲线上的一点的坐标为 （ ）A )7,2(-B )32,31( C )21,21( D )0,1(2下列参数方程（t 为参数）与普通方程02=-y x 表示同一曲线的方程是（ ）A ⎩⎨⎧==t y t x B⎩⎨⎧==ty tx 2cos cos C ⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y t x 2cos 12cos 1tan D ⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y tx 2cos 12cos 1tan 3 直线0943=--y x 与圆⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x （θ为参数）的位置关系是（ ）A 相切B 相离C 直线过圆心D 相交但直线不过圆心。

4 设直线⎩⎨⎧-=+=ααsin 2cos 1t y t x （t 为参数）。

如果α为锐角，那么直线01:21=+x l l 到直线的角是（ ） Aαπ-2 B απ+2C αD απ- 5 过点（1，1），倾斜角为o135的直线截椭圆1422=+y x 所得的弦长为（ ） A522 B 524 C 2 D5236 双曲线⎩⎨⎧==θθsec tan 3y x （θ为参数），那么它的两条渐近线所成的锐角是： 。

7 参数方程⎩⎨⎧+==θθθcos sin 2sin y x （θ为参数）表示的曲线的普通方程是： 。

8 已知点M （2，1）和双曲线1222=-y x ，求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在直线l 的方程。

9 已知椭圆的中心在原点。

焦点在y 轴上且长轴长为4，短轴长为2。

直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==tm y tx 2（t 为参数）。

当m 为何值时，直线l 被椭圆截得的弦长为6？１0、求椭圆1121622=+y x 上的点到直线0122:=--y x 的最大距离和最小距离。

〔知识要点归纳〕1． 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的一种表示形式，而且有的参数还有几何意义或物理意义。

2． 面临一个轨迹问题，如何选择参数？如何用参数？是主要问题，必须在学习过程中深刻去领会。

3． 在参数方程与普通方程互化过程中，要注意等价性。

四、参数方程 〔解题能力测试〕1．C 2、A 3、5，-5 4、2212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩5、32πα-〔潜能强化训练〕1、C2、D3、C4、B5、B6、6007、21(11)y x x =+-≤≤8、490x y +-= 9、5m =± 10、max min 5d d ==最新文件 仅供参考 已改成word 文本 。

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