群论的基础及应用第二章群论的应用2.1图论的结构群应用在所有数学分支以及计算科学中，结构的概念是最基本的，以不正式的角度看，一个结构s是在点集U的一个construction r，它由一对点集组成。

e4图 2.1通常说，U是结构s 的底图集，图2.1描述了两个结构的例子：一个有根树，和一个有向圈。

在集合论上，题中的树可以描述为s=（γ，U），其中U={a，b，c，d，e，f}，γ=（{d}，{{d，a}，{d，c}，{c，b}，{c，f}，{c，e}}）出现在γ上第一部分的根点{d}指的是树的根节点。

对于有向圈它可以写成形式为s=（γ，U），其中U={x，4，y，a，7，8}，γ={（4，y）（y，a）（a，x）（x，7）（7，8）（8，4）}U={a ，b ，c ，d ，e ，f}σV={x ，3，u ，v ，5，4}图2.2考虑有根树s=（γ，U ）它的底图集是U ，通过图2.2中的σ变换，将U 中每一个元素替换成V 中的元素，这幅图清晰的显示了变换中如何将结构树s 对应到集合V 上相应的树t=（τ，V ），我们说树t 可以由树s 通过变换σ得到。

记作t=σ·s.则树s 和树t 是同构的，σ叫做s 到t 的同构。

我们可以将底图的点视为无标记的点，这样就得到同构图的通用形式。

如果σ是U 到U ，则它是自同构。

此时树的变换σ·S 等价于树s ，即s=σ·s.我们已经知道结构s 的定义，那么可以定义它在规则F 下的结构群，我们用F[U]表示集合U 上所有满足F 的结构F[U]={f|f=（γ，U ），γ⊆ϑ[U]}其中ϑ[U]表示U 中所有未排序的元素对所组成的边。

一个结构群满足规则F ：1.对任意一个有限集U ，都存在一个有限集F[U]2.对每一个变换σ：U →V ，存在一个作用 F[σ]:F[U]到F[V] 进一步F[σ]满足下列函数性质： 1.对所有的变换σ：U →V 和τ ：V →W F[σ·τ]=F[τ]·F[σ]；2.对恒等映射一个元素s 数域F[U]叫做U 上的一个F 结构，作用F[σ]称为F 结构在σ下的变换。

例：对所有的整数0≥n ，指定n S 是由},,2,1{][n n Λ=的置换作成的对称群，在群作用的操作下，集合F[n]是[n]上的F-结构。

说明对每个0≥n ，每个F-结构群，通过令)]([s F s σσ=⋅（对n S ∈σ和][n F s ∈）诱导出群n S 在集合F[n]上的一个作用][][n F n F S n →⨯（1）证明：设F[n]是[n]上的F-结构，不妨令][)),(,(|{][]2[21n i i i s s n F n ϑγγ∈==Λ， 对任意][n F s ∈和n S ∈σσ作用在s 上等价于)()(2121n n j j j i i i K K ο=σ即))(,(')]([21n j j j s s F s Λγσσ===⋅仍然属于F[n]，因此得到群n S 在集合F[n]上的一个作用][][n F n F S n →⨯ 同样的，任何集合作用族n n n F F S →⨯ （2）满足一个F-结构群的定义，因为在（1）和（2）的作用族是同构的。

2.2群论在物理学中的应用在物理学中，群论被广泛应用到固体物理，理论物理中，比如点群的数学理论用于分析晶体对称性，规范场论、弦理论的数学基础李群李代数，还有量子场论中有关对称性运用到的群理论。

群论在固体物理中的一个经典的应用就是对晶体对称性的研究。

由于晶体具有平移不变性，通过群理论的方法，就可将晶体进行分类，并计算出晶体可能有11种固定点群、32种点群、7种晶系、14种布拉菲格子、73种简单空间群和230种空间群。

单从这方面看，群论对于晶体的研究就起到了不可或缺的作用。

在群论的基础知识中，我们曾经提到过，对于某些变换关系我们也可以构成群，如数域P 上的线性空间V 的全体可逆线性变换对于变换的乘法构成一个群。

同样的，由于晶体的原子在三维空间有周期性列（晶格），晶格对三维空间一定的平移变换保持不变l r r l T r r ρρρρρρ+=='→）（这样的平移矢量l ρ叫做晶格矢量。

晶格的原胞是晶格最小的周期单元，其不共面的三条棱可作为晶格的基本矢量，称为晶格矢量，用i a ρ表示。

原始的晶格晶格基本矢量要求晶格矢量都可被基本矢量用整数线性组合表示出来，即是整数i 31i i i 332211l l a l a l a l a l ∑==++=ρρρρρ保持晶体不变的平移变换）（l T ρ的集合构成群，称为晶体的平移群，简称平移群，记作T 。

除了晶体的平移不变性外，晶体理论中晶体的对称操作平移、转动、反演的协同变换也具有不变性，一般记作），（αρR g∑==+=='→31i i i a r R r R g r r ααααρρρρρρρρ，），（其中，R ：三维实正交变换（固有转动和非固有转动），它保持原点不变.i α：实常数，描述原点的平移.当R=E 时，i α必须取整数i l ，）（），（l T l E g ρρ=是平移变换。

对称变换的乘积定义为相继做两次对称变换βαβαβαρρρρρρρρρR r R R }r R {R g r R g R g ++'=+'='），（），（），（对于给定的晶体，在它的对称变换），（αρR g 中出现的所有实正交变换R 的集合构成群，称为晶格点群，简称点群，记作G 。

空间群是晶体对称变换的集合构成晶体对称群，记作S 。

平移群T 是空间群S 的子群，而且是不变子群，因为平移变换的共轭元素仍然是平移变换，）（））（，（），（）（），（l R T R -l R E g R g l T R g 1-1-ρρρρρρρ=+=αααα，l l R ρρ'=，设i l 是i α的整数部分，则①现在我们来证明：对于给定的晶体和选定的晶格基矢，在对称变换中，每一个R 只能对对应一个t ρ。

用反证法，设），（）和，（t R g t R g ρρ'都是晶体的对称变换，则由于式①对t ρ的限制，只能t t ρρ='，得证。

物理学中各个领域还有众多对于群理论的应用，群论对于系统对称性的研究使得群论称为物理工作者必备的工具。

2.3 群论在化学中的应用在化学研究中，运用群论研究分子的对称性是一种常见的手段。

分子中，原子的空间排列是对称的，且原子固定在平衡位置上，运用群论研究其对成性，进一步解决分子的结构和性质问题，是人们认识分子的主要途径和方法。

分子、离子、原子簇所属的对称点群经常要在化学研究中确定。

由于群论原理的制约，某个分子具有的对称元素和可能的对称操作是有限的。

例：简述苯分子点群类型并求其群的轨道 首先确定苯分子的点群：一个是6C 轴；六个62C C ⊥；一个苯分子平面垂直于垂直于6C 轴的镜面h e ；），（），（），（），（），（ααβαβαρρρρρρ1-1-1-R -R g R g R R R g R g R g =+'='），（）（），（，，t R g l T R g 1t 0t l i i i i ρρρ=≤≤+=ααl l R t -t l T t R t R -T t R g t R g 1-1-1-ρρρρρρρρρ'=='='+='）（）（），（），（所以苯分子属于h 6D 点群。

其次求群的轨道2121226E E B A E E B A ⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=τ 处理得到故b 2h C a 2h C b 1h C a 1h C 2h C 2h C J E 66E 55E 44E 13B 22A 11+++++=则 .2h J b 2h J a 2h J b 1h J a 1h J 2h J 2C E 6C E5C E 4C E3C A 1C 654321B======；；；；；在上面对苯分子的点群处理之后，我们可以得出苯分子共轭结构大c 键分子轨道波函数1C J ~6C J 。

2.4欧拉定理的证明对于学习数学的人来说，欧拉这个人名绝不陌生，因为在数学中，有很多的公式、定理都以欧拉命名。

在数论中，欧拉定理也称为费马-欧拉定理，此定理是关于同余性质的理论。

这个理论在数学中占有很重要的地位，被称为最美妙的公式之一。

下来我们就用群论知识来证明欧拉定理。

定理（欧拉定理）设m 是一个大于1的整数，（a ，m ）=1，则我们有）（）（m mod 1a m ≡φ，其中φ（m ）是欧拉函数。

在证明之前，我们提出群论中关于剩余类的概念。

对于一个给定模数n ，全体整数按模n 同余分成一些等价类，此时的等价类叫做整数模n 的剩余类。

）（654321E 5O -O -O 2O -O -O 2121a 2J +=）（6532E6O -O O -O 21b 2J +=）（654321A 1O O O O O O 612J +++++=）（6532E4O O -O O 21b 1J ++=）（654321E 3O O -O 2-O -O O 2121a 1J ++=）（654321B 2O -O O -O O -O 612J ++=证明：首先我们来考虑这样的情况。

用M={[0],[1],[2]，...,[m-1]}表示模m 的剩余类。

集合N={[1a ],[2a ],...,[）（m a φ]}⊂M 是模m 的一个简化剩余类，其中[1a ]=1。

我们规定M 的一个二元运算“·”，即[a]·[b]=[ab].进而证明M 的二元运算“·”与剩余类代表元的选取无关.对于任意整数1a ，1b ，若1a ∈[a],1b ∈[b],则1a =a+km ，1b =b+lm ，其中k ，l 是整数，所以1a 1b =ab+（kb+la+klm ）m ∈[ab],即有[1a ]·[1b ]=[a]·[b].因此二元运算“·”是M 的一个代数运算，易得“·”也是M 的子集N 的一个代数运算，这时根据前面的群论基础知识，我们可以得到N 关于二元运算“·”是一个阶为φ（m ）的有限群。

有了上面的结论，我们来考虑集合N={[1a ],[2a ],...,[）（m a φ]}。

由于N 关于二元运算“·”是一个群，其中[1]是单位元，对任意整数a ，若（a ，m ）=1，则[a]∈N,用k a ][表示k 个[a]连续做运算，由于N 含有φ（m ）个元，即群N 的阶为φ（m ）。

于是]1[]a []a [m m ==）（）（φφ,从而得到sm 1a m +=）（φ，故）（）（m mod 1a m ≡φ成立。