证 因 为 H T ( E 2 X X T )T E T 2( X X T )T
E 2XX T H 所以H是对称矩阵.
HH T H 2 (E 2 XX T )2 E 4 XX T 4( XX T )( XX T ) E 4XX T 4X (X T X )X T E 4XX T 4XX T E
坐标分别为 和 , 它们有如 y′
yA x′
下关系：
x x 'cos y 'sin
y x 'sin y 'cos
α
O
x
写成矩阵形式，记为
过渡矩阵
x cos
y
s
i
n
sin x '
cos
y
'
例 （线性代数方程组）一般形式的线性方程组，即
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1
C
2
2
2
2
有
A
B
0
0
0 ,
AC
0
0
0
0
0
则 A B A C , 但是
BC
注 该例也说明 A B 0 不 能 推 出 A 0 或 B 0
定义 (方阵的幂次) 若A是n 阶方阵, 则Ak为A的
的k次幂,即
Ak
A 14
A 2
L43A
,
并且
k个
A m A k A m k , A m k A m k ( m , k 为 正 整 数 )
例 对 于 任 意 的 n阶 矩 阵 A .证 明 :
(1) A AT 是 对 称 矩 阵 , A AT 是 反 对 称 矩 阵 .
(2) A可 表 示 为 对 称 矩 阵 和 反 对 称 矩 阵 之 和 .
证 (1) ( A AT )T ( A )T ( AT )T
AT A A AT ( A AT )T ( A )T ( AT )T
4
4
3
3
8
3
2
1
3
3
3 2
81
6
1
9
❖矩阵加法的运算规律 设A B C都是mn矩阵 则 (1) ABBA (2) (AB)CA(BC)
设矩阵A(aij) 记A(aij) A称为矩阵A的负矩阵； 另，把元全为零的矩阵称为零矩阵，记作O；
(3) A= A+O = O+A
由此，规定矩阵的减法为ABA(B)，例如
a1b1
a 2 b2
O
anbn nn
结论 两个n 阶对角阵之积仍为n 阶对角阵.
结论 两个n阶上（下）三角阵之积仍为n阶上（下）三角阵.
❖矩阵乘法的运算规律
(1) 结 合 律 : ( A B )C A( B C )
( 2 ) 分 配 律 : A ( B＋ C ) A B A C (左乘分配律) ( B＋ C ) A B A C A (右乘分配律)
(1) 1 A A;
(2) ( ) A ( A);
(3) ( ) A A A;
(4) ( A B ) A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.
❖矩阵乘法
设 A ( a ij )是一个m×s矩阵,
B ( bij ), 是一个s×n矩阵, 那么规定矩阵A与矩阵B的
3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 1 0 1
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
3
3
3
❖矩阵的数乘
数 与矩阵 A 的乘积记作 A 或 A , 规定为
a11
a12
A
A
a 21
a 22
a
m
1
a m1
❖矩阵数乘的运算规律
a1n
a2n
.
a mn
如 果 AT A 则 矩 阵 A称 为 反 对 称 矩 阵 .
由此可知，反对称矩阵的对角元必为零，即 aii = 0
0 5 4
例如
B
5
0
1
是3阶反对称矩阵.
4 1 0
例 设列矩阵 X x1 , x 2 ,L , x n T 满足 X T X 1,
E 为 n阶 单 位 矩 阵 , H E 2 X X T , 证 明 H 是对称矩阵,且HH T E.
6 22
8
16 2 2
0 3 4
例
1 0 1 2
若
A
1
1
3
0
0
5
1
4
B
1
3
2
1
1 1
求AB.
1 2 1
解 因 A a
,B b
,故 C c
.
ij 3 4
ij 4 3
ij 3 3
0 3 4
1 0 1 2
C AB 1
0
1 5
3 1
0 4
b 21
a 22 b22
a m1
bm1
am 2 bm 2
a1n
b1n
a2n b2n
a mn
bmn
注 只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加法运算.
10 3 5 1 8 9 10 1 3 8 5 9 11 11 4
1
9
0
6
5
4
1
6
9 5
0
4
7
的元素相等,即
a ij bij i 1,2 , , m ; j 1,2 , , n ,
则称矩阵A与矩阵B相等，记作 A B
❖矩阵的加法
设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij) 矩阵A与B的和记 为AB 规定为AB(aijbij ) 即
a 11
b11
a12 b12
A
B
a 21
BT AT
7
2
0
0
3
14
1
3
.
1
3
1
1
2
3
1
0
定义 (对称阵) 设A为n阶方阵,如果满足 A A T 即 a ij a ji ( i , j 1, 2 , L , n ) ，那么A称为对称阵.
12 6 1
例如 A 6 8 0 为对称阵 .
1
0
6
注 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.
a 11
a 12
L
a 21
a 22
L
a 1n
a 2n
1
2
M M M M
O
an1
a n2
L
a nn
nn
n
nn
1a11
1a 21
M
1an1
2a12 2a22
M
2an2
L na1n
L
na2n
M M
L
na nn nn
a1
a2
O
b1
b2
O
an nn
bn nn
k2
2
k k1
k 2
k
1 0
例
设A
0
1
,
求
Ak
.
0
0
k
k k1
k
k
1
k2
解
归纳出
Ak 0
k
2
k k1
k 2
0
0
k
用数学归纳法证明: 假设 k = n 时成立, 则k = n + 1 时,
n
An1 An A 0
n n1 n
n
n
1
n2
2
n n1
0
1
0
1
§2.2 矩阵的基本运算
1、运算定义&运算规则 2、矩阵应用举例
1、运算定义&运算规则
同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
1
例如 5
3
2 14
6 与 8
7
3
3
4
为同型矩阵.
9
2.两个矩阵 A aij 与 B bij 为同型矩阵,并且对应
结论 在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序 “左乘” & “右乘”
但也有例外，比如设
A
2
0 ,
1 B
1 ,
0 2
1 1
则有 AB
2 2
,
2 2
BA
2 2
2 2
AB
BA .
定义 满足AB=BA的矩阵称为可交换的.
结论 两个同阶对角矩阵是可交换的.
结论 n阶单位矩阵与任意n阶矩阵是可交换的.即
a1n 1
a2n
1
L
O
ann
a ij
A
nn
1
注 此例表明单位矩阵在矩阵乘法中的地位与数1在 数的乘法中的地位相当. 即
E m Amn Amn E n
注 矩阵乘法不满足消去律，即
AB AC , A 0 不能推出 B C
例如
设A
1
1
1 ,
1
B
1
1
1
,
1
当 A B B A 时 , (1) A B k A k B k ;
(2) A B 2 A2 2 AB B 2.
注 显然只有方阵的幂才有意义
定义 (方阵的多项式)fBiblioteka (x)a xk k
ak1 x k1
L
a xa
1
0
f (A)
a Ak k
ak1 A k1
L
a Aa E
1
0