T4
0.8 0
66
0.5 0
0 17.32 1 0
0
00
1
机器人运动学方程
如为果机A器1矩人阵的表每示一第个一连连杆杆建坐立标一系个相坐对标于系固，定并坐用标齐系次的变齐 次换变来换描，述则这第些一坐连标杆系坐间标的系相相对对关于系固，定也坐叫标相系对的位位姿姿。T1为
通常把描述一个连T1杆坐A标1T系o 与A 下1一个连杆坐标系间相
1.求连杆间的齐次变换矩阵
c1 s1 0 0
01T
s1
0
c1 0
0 0 1 0
0
0 0 1
c2 s2 0 a1
21T
s2
0
c2
0
0
0
1 0
0
0
0
1
c3 s3 0 a2
23T
s3
0
c3
0
0
0
1 0
0
0
0
1
1 0 0 a3
34T
0
0
1 0
0 1
0
0
0
0
0
1
1.求手腕中心的运动方程
(全书cos可用c表示，sin可用s表示)
T4是A1、A2 、A3 、A4连乘的结果，表示手部坐标系{4}(即 手部)的位置和姿态。
T4
❖ 当转角变量分别为θ1=30°, θ2=-60°, θ3=30°时，则可根据平面关节型机器人运动学方程求解 出运动学正解,即手部的位姿矩阵表达式：
0.5 0.866 0 183.2
θ3
L3
y0
θ2 L2
L1
θ1
O
x0
基座标系{0}与基座固连，固定不动。原则上可以任意规定，但是为了简单方便， 总是规定，当第一个关节变量为零时，{0}与{1}重合。 坐标系{1}位于第一个关节处，z轴与关节轴线重合，x轴与关节1与关节2公垂线 的共线，方向由关节1指向关节2.坐标系{2}、{3}设定方法相同。坐标系{4}是末 端连杆坐标系，其规定与基座标系{0}相似。
机器人学基础
—— 运动学方程的建立
1.平面三自由度机器人运动学分析
正向运动学主要解决机器人运动学方程的建立及手部位姿的求 解，即已知各个关节的变量，求手部的位姿。 如图所示，SCARA装配机器人的三个关节轴线是相互平行的。求 该机器人手部中心点P的运动学方程。
D-H法运动学方程建立步骤： (1)确定机器人各连杆的连杆参数； (2)建立连杆坐标系； (3)计算各连杆的A矩阵； (4)将得到的A矩阵连乘，得到机器人的运动方程式。
04T01T21T23T34T
连杆变换通式 根据各个坐标 系的位姿关系
三自由度平面机械手 的运动方程式
T4
式中：c123＝cos(θ1+θ2+ θ3)；s123=sin(θ1+θ2+ θ3)；
c12=cos(θ1+θ2+ θ3)； s12=sin(θ1+θ2+ θ3)；
c1＝cosθ1
s1=sinθ1。
0 1
0 0
1
d
4
0 0
0 0 0
1
由连杆变换即可推导运动方程和各中间变换。
0 1 0 a3
24T23T34T
0 1
0
0 0 0
1
d4
0 0
d3 1
41T21T23T34T
nx ox ax px
04T01T21T23T34TF
n
y
oy
ay
p
y
nz 0
oz 0
az 0
pz 1
0 0
0
1 0 0
0 1 0
0
d5 1
空间3R机械手运动学方程
如图所示的空间3R机械手，3个旋转关节中关节1轴线与关节2、 3垂直，列出各连杆参数和运动学方程。
αi-1
ai-1
90°
对关系的齐次变换矩阵叫做A变换矩阵或A矩阵。
1 0 0 0
To
0
0
1 0
0 1
0
0
0
0
0
1
如果A2矩阵表示第二连杆坐标系相对于第一连杆系的齐 次变换，则第二连杆坐标系在固定坐标系的位姿T2可用A2 和A1 的乘积来表示，并且A2应该右乘。
T2 A1A2
同理，若A3矩阵表示第三连杆坐标系相对于第二连杆坐 标系的齐次变换，则有：
T3 A1A2A3
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
T6A 1A2A3A4A5A6
T6A 1A2A3A4A5A6
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
坐标系之间的变换矩阵的连乘，左边T6表示这些变换矩阵 的乘积，也就是手部坐标系相对于固定参考系的位姿。
手部的姿态
手部的位置
XHK 5140换刀机械手运动学方程
该机械手有4个自由度。关节1和2是转动关节，用于大臂和小臂 旋转；关节3和4是移动关节，实现插拔刀和伸缩运动。
表3 换刀机械手连杆参数
注意： (1)θ1=0°时，基座标系{0}和{1}重合。 (2)坐标系{2}与连杆2固接； (3)坐标系{4}与手爪坐标系平行； (4)连杆坐标系的规定不是唯一的，对于不同坐标系，对应的参数也不同。
为了描述换刀机械手和机床的联系，另设一个参考坐标系 {R}，而与末端连杆4固接的手爪用工具坐标系{T}表示。则 手爪相对参考系{R}的位姿 RTT为
R TTR 0T0 4TT 4T
1
2
R0T
0
1 6
2
1 3
1
l
2 l
6 3 2
1
2
1 6
1 3
l
2
0
0
0 1
1 0 0 0
T4T
根据连杆参数，可得到各个连杆的变换矩阵
c1 s1 0 0
01T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s1
0
c1 0
0 0 1 0
0
0 0 1
1 0 0 0
23T
0 0
0
1 0 0
0 1 0
0
d3 1
c2
21T
1 3
s
2
2 3
s2
0
s2
0 a1
1 3
c
2
2 3
0
2 3
c
2
1
0
3
0
0 1
0 1 0 a3
34T