3.1.1变化率问题与导数的概念
一、选择题
1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx满足()
A．Δx＜0B．Δx＞0
C．Δx＝0 D．Δx≠0
[答案] D
[解析]自变量的增量Δx可正、可负，但不可为0.
2．函数在某一点的导数是()
A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
[答案] C
[解析]由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值．
3．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x②y＝x2③y＝x3④y＝1
x
中，平均变化率
最大的是()
A．④B．③
C．②D．①
[答案] B
[解析]①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.
4．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为()
A．4＋4t0B．0
C．8t0＋4 D．4t0＋4t20
[答案] C
[解析]Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt，
Δs
Δt
＝4Δt＋4＋8t0，
lim Δt→0Δs
Δt
＝lim
Δt→0
(4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.
5．函数y＝x＋1
x
在x＝1处的导数是()
A．2 B.5 2
C．1 D．0
[答案] D
[解析] Δy ＝(Δx ＋1)＋1Δx ＋1－1－1＝Δx ＋－Δx Δx ＋1
， Δy Δx ＝1－1Δx ＋1
， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭
⎫1－1Δx ＋1＝1－1＝0， ∴函数y ＝x ＋1x
在x ＝1处的导数为0. 6．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( )
A ．f (x 0＋Δx )
B ．f (x 0)＋Δx
C ．f (x 0)·Δx
D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0) [答案] D
[解析] Δy 看作相对于f (x 0)的“增量”，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)代替．
7．一个物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则物体在t ＝2时的瞬时速度为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．7 [答案] B
[解析] lim Δt →0 3＋(2＋Δt )2－3－22
Δt
＝lim Δt →0 Δt 2＋4Δt Δt
＝lim Δt →0 (Δt ＋4)＝4. 8．f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ( ) A ．与x 0，Δx 有关
B ．仅与x 0有关，而与Δx 无关
C ．仅与Δx 有关，而与x 0无关
D ．与x 0，Δx 均无关
[答案] B
[解析] 式子lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
表示的意义是求f ′(x 0)，即求f (x )在x 0处的导数，它仅与x 0有关，与Δx 无关．
9．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )
A ．f ′(x )＝a
B ．f ′(x )＝b
C ．f ′(x 0)＝a
D ．f ′(x 0)＝b [答案] C
[解析]∵f′(x0)＝lim
Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx
＝lim
Δx→0aΔx＋b(Δx)2
Δx
＝lim
Δx→0
(a＋bΔx)＝a.
∴f′(x0)＝a.
10．f(x)在x＝a处可导，则lim
h→0f(a＋3h)－f(a－h)
2h
等于()
A．f′(a) B.1
2
f′(a)
C．4f′(a) D．2f′(a) [答案] D
[解析]lim
h→0f(a＋3h)－f(a－h)
2h
＝lim
h→0f(a＋3h)－f(a)＋f(a)－f(a－h)
2h
＝3
2
lim
h→0
f(a＋3h)－f(a)
3h
＋
1
2
lim
h→0
f(a)－f(a－h)
h
＝3
2
f′(a)＋
1
2
f′(a)＝2f′(a)．
二、填空题
11．f(x0)＝0，f′(x0)＝4，则lim
Δx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)
Δx
＝________.
[答案]8
[解析]lim
Δx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)
Δx
＝2lim
Δx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)
2Δx
＝2f′(x0)＝8.
12．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝v t＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．
[答案]相等
[解析]v0＝lim
Δt→0Δs
Δt
＝lim
Δt→0
s(t0＋Δt)－s(t0)
Δt
＝lim
Δt→0v(t0＋Δt)－v t0
Δt
＝lim
Δt→0
v·Δt
Δt
＝v.
13．设x0∈(a，b)，y＝f(x)在x0处可导是y＝f(x)在(a，b)内可导的________条件．
[答案]必要不充分
[解析]y＝f(x)在x0∈(a，b)处可导不一定在(a，b)的所有点处可导，反之，y＝f(x)在(a，b)内可导，必然在(a，b)中的x0处可导．
14．一球沿斜面自由滚下，其运动方程是S＝t2(S的单位：m，t的单位：s)，则小球在
t ＝5时的瞬时速度为______．
[答案] 10m/s
[解析] v ＝S ′|t ＝5＝lim Δx →0
S (5＋Δx )－S (5)Δx
lim Δx →0 (10＋Δx )＝10(m/s)． 三、解答题
15．一物体作自由落体运动，已知s ＝s (t )＝12
gt 2. (1)计算t 从3秒到3.1秒、3.01秒，两段内的平均速度；
(2)求t ＝3秒时的瞬时速度．
[解析] (1)取一小段时间[3,3＋Δt ]，此时物体的位置改变量Δs ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32＝12
g (6＋Δt )Δt ，
相应的平均速度v ＝Δs Δt ＝g 2(6＋Δt ) 当Δt ＝0.1时，即t 从3秒到3.1秒v ＝3.05g ；
当Δt ＝0.01时，即t 从3秒到3.01秒v ＝3.005g .
Δt 越小，v 就越接近时刻t 的速度．
(2)v ＝lim Δt →0 Δs Δt
＝lim Δt →0 g 2(6＋Δt )＝3g ＝29.4m/s. 16．若f ′(x )＝A ，求lim h →0
f (x ＋h )－f (x －2h )h . [解析] 原式＝lim h →0 f (x ＋h )－f (x )＋f (x )－f (x －2h )h
＝lim h →0 f (x ＋h )－f (x )h ＋lim h →02·f (x －2h )－f (x )－2h
＝A ＋2A ＝3A .
17．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．
[解析] 解法一：(导数定义法)Δy ＝1＋Δx －1，
Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1
， 所以lim Δx →0 1
1＋Δx ＋1＝12， 即y ′|x ＝1＝12
. 解法二：(导函数的函数值法)
Δy ＝x ＋Δx －x ，
Δy Δx ＝x ＋Δx －x Δx ＝1x ＋Δx ＋x
. 所以y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx ＋x ＝12x
， 故y ′|x ＝1＝12
. 18．路灯距地面8m ，一个身高1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影C 沿某直线离开路灯，
(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；
(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．
[解析] (1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m.
由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BE CD
， 即y y ＋x ＝1.68，所以y ＝14
x . (2)∵84m/min ＝1.4m/s ，而x ＝1.4t .
∴y ＝14x ＝14×1.4t ＝720t ， t ∈[0，＋∞)．
Δy ＝720(10＋Δt )－720×10＝720
Δt ， ∴y ′|t ＝10＝lim Δt →0 Δy Δt ＝720即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为720
.。