第1课时变化率问题与导数的概念
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1.通过物理中的变化率问题和瞬时速度引入导数的概念.
2.掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤.
3.通过构建导数概念,使学生体会极限思想,为将来学习极限概念积累学习经验.
4.通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程.
借助多媒体播放2012年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人10米跳台冠军的视频.上节课我们已经学习了平均变化率的问题,我们知道运动员的平均速度不一定能够反映她在某一时刻的运动状态,而运动员在不同时刻的运动状态是不同的,我们需要借助于瞬时速度这样的量来刻画,那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢?
问题1:根据以上情境,设陈若琳相对于水面的高度h (单位:m)与起跳后的时间t (单位:s) 存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,如果用她在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么:
(1)在0≤t≤0.5这段时间里,运动员的平均速度= .
(2)在1≤t≤2这段时间里, 运动员的平均速度= .
问题2:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率公式是.如果用x1与增量Δx
表示,平均变化率的公式是.
问题3:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率的定义:一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y',即f'(x0)== .
问题4:在导数的定义中,对Δx→0的理解是:Δx>0,Δx<0,但.
1.已知函数y=f(x)=x2+1,当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为().
A.0.40
B.0.41
C.0.43
D.0.44
2.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则().
A.f'(x)=a
B.f'(x)=b
C.f'(x0)=a
D.f'(x0)=b
3.一质点按规律s(t)=2t2运动,则在t=2时的瞬时速度为.
4.求y=2x2+4x在点x=3处的导数.
求平均变化率
(1)已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及附近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则= .
(2)求y=x2在x=x0附近的平均变化率.
求物体运动的瞬时速度
若一物体运动方程为s=
求此物体在t=1和t=4时的速度.
导数定义的应用
已知f'(x0)=2,求.
函数y=5x2+6在区间[2,2+Δx]内的平均变化率为.
质点M按规律s(t)=at2+1作直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若质点M在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s,求常数a的值.
已知f(x)=x3-8x,则=;
= ;= .
1.自变量x从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数().
A.在区间[x0,x1]上的平均变化率
B.在x0处的变化率
C.在x1处的变化量
D.在区间[x0,x1]上的导数
2.函数f(x)=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1 ,k2的大小关系是().
A.k1>k2
B.k1=k2
C.k1<k2
D.无法确定
3.(1)设函数y=f(x),当自变量x由x0变化到x0+Δx时,函数值的改变量Δy 为.
(2)设函数y=f(x)=3x2,则Δy=f(1+Δx)-f(1)= ,= ,= ,f'(1)= .
4.已知自由下落物体的运动方程是s=gt2(s的单位是m,t的单位是s),求:
(1)物体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度;
(2)物体在t0时的瞬时速度;
(3)物体在t0=2 s到t1=2.1 s这段时间内的平均速度;
(4)物体在t=2 s时的瞬时速度.
求函数f(x)=x3+2x+1在x0=1处的导数f'(1).
考题变式(我来改编):
第一章导数及其应用
第1课时变化率问题与导数的概念知识体系梳理
问题1:(1)=4.05 m/s(2)=-8.2 m/s
问题2:
问题3:
问题4:Δx≠0
基础学习交流
1.B∵x=2,Δx=0.1,∴Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(
2.1)-f(2)=(2.12+1)-(22+1)=0.41.
2.C==a+bΔx,f'(x0)==(a+bΔx)=a.
3.8s(2+Δt)-s(2)=2(2+Δt)2-2×22=2(Δt)2+8Δt,
∴==(2Δt+8)=8.
4.解:Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3)=2(Δx)2+16Δx,
=2Δx+16,
=(2Δx+16)=16,
即y'|x=3=16.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)∵Δy=f(-1+Δx)-f(-1)=-(-1+Δx)2+(-1+Δx)-[-(-1)2+(-1)]=-(Δx)2+3Δx,
∴==-Δx+3.
(2)因为Δy=(x0+Δx)2-,所以==2x0+Δx,所以y=x2在x=x0附近的平均变化率为2x0+Δx.
【小结】1.本题需利用平均变化率的定义来解决,但要注意Δx可正、可负、不可为零, Δy 可正、可负、可为零.
2.求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy,求平均变化率的主要步骤是:
(1)先计算函数值的改变量Δy=f(x1)-f(x0).
(2)再计算自变量的改变量Δx=x1-x0.
(3)得平均变化率=.
探究二:【解析】当t=1时,s=3t2+2,
Δs=s(t+Δt)-s(t)=3(1+Δt)2+2-(3+2)=6Δt+3(Δt)2,
∴v===(6+3Δt)=6.
当t=4时,s=29+3(t-3)2,
Δs=s(t+Δt)-s(t)=29+3(4+Δt-3)2-29-3(4-3)2=3(Δt)2+6Δt,
∴v===(3Δt+6)=6.
∴物体在t=1和t=4时的瞬时速度分别是6和6.
【小结】1.“(6+3Δt)=6”中,“Δt→0”指Δt趋近于零,即自变量的变化几乎为零.
2.求物体瞬时速度的步骤:
(1)设非匀速直线运动的规律s=s(t).
(2)求时间改变Δt时的位置改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).
(3)求平均速率=.
(4)计算瞬时速率:当Δt→0时,→v(常数).
探究三:【解析】由已知得:=2,
当h→0,2h→0,-4h→0,
==2.
[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?
[结论]没有,在导数的定义形式中,增量Δx的形式多种多样,但是无论增量Δx选择哪种形式,Δy必须保持相应的形式.即:f'(x0)===(其中a为非零常数).
于是,正确解答为:
=-4=-4=-4f'(x0)=-8.
【小结】对极限的理解和计算,也是对导数概念的准确理解.通过此题可以看出学生是否掌握了导数的概念.
思维拓展应用
应用一:20+5Δx 因为Δy=5(2+Δx)2+6-5×22-6=20Δx+5(Δx)2,
所以平均变化率=20+5Δx.
应用二:∵Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a×22-1=4aΔt+a(Δt)2,
∴=4a+aΔt,=4a,
即4a=8,∴a=2.
应用三:4 4 -2f'(x)==
=
=(3x2+3x·Δx+Δx2-8)
=3x2-8,
∴f'(2)=4.
=f'(2)=4.
==f'(2)=4.
=-
=-f'(2)=-2.
基础智能检测
1.A由平均变化率的定义可知应选A.
2.D因为Δx可正、可负不可为0,所以k1与k2大小关系不确定,应选D.
3.(1)f(x0+Δx)-f(x0)(2) 6Δx+3(Δx)26+3Δx 6 6
4.解:(1)平均速度为
==gt0+gΔt.
(2)瞬时速度为
=(gt0+gΔt)=gt0.
(3)由(1)得物体在t0=2 s到t1=2.1 s这段时间内的平均速度为
g×2+g×0.1=g.
(4)由(3)得物体在t=2 s时的瞬时速度为g×2=2g.
全新视角拓展
∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(Δx)3+3(Δx)2+5Δx, ∴f'(1)===[(Δx)2+3Δx+5]=5.。