表1 利润增长额 gi (x j ) （百元）
投资额
(j) 0 100 200 300 400 500 600
工厂(i)
2
0 25 45 57 65 70 73
f2 (600) max{g2 (0) f3(600), g2 (100) f3(500), g2 (200) f3(400), g2 (300) f3(300), g2 (400) f3(200), g2 (500) f3(100) g2 (600) f3(0)}
工厂(i)
4
0 28 47 65 74 80 85
自然问：现在还有多少钱？即 s4 =？ s4 =0，100，200，300，400，500，600都有可能。 下面分情况讨论：
s4 0
表1 利润增长额 gi (x j ) （百元）
投资额
(j) 0 100 200 300 400 500 600
工厂2
状态 s3
投资x3
工厂3
投资x4
状态 s4 工厂4 s5
g1 (x1 )
s2 s1 x1 g 2 (x2 ) s3 s2 x2
s4 s3 x3 g3 (x3 )
g4 (x4 )
状态变量 sk ：可用于第k, k+1,…n个工厂的投资额。
决策变量 xk ：第 k 阶段对第 k 个工厂的投资额。 允许决策集 Dk ： Dk {0, 100, , sk }
投资额
(j) 0 100 200 300 400 500 600
工厂(i)
4
0 28 47 65 74 80 85
f4 (s4 )

max {g
0x4 s4
4
(
x4
)

f5 (s5 )}
（注意到此时 f5 (s5 ) =0）
0mx4axs4{g4 (x4 )}
s1 600
投资x1
工厂1
（2）k=3时 到第三个工厂投资时，可利用的资金还有 s3 ，
若向第三个工厂投资 x3（万元），则自此即以后最大利润为：
f3 (s3 ) 0mx3axs3{g3 (x3 ) f4 (s4 )}
0mx3axs3{g3 (x3) f4 (s3 x3 )}
sk1 sk xk ,
状态转移方程：sk1 sk xk , k 1,2,3,4. 其中 s1 600
阶段指标函数 gk (xk ) ：第 k 阶段投资xk 元时所产生的利 润。（见上表） 最优指标函数 fk (sk ) ：第 k 阶段状态为sk 且采取最佳投资 策略，从第 k 个工厂以及以后的最大总利润。
max{g3(0) f4 (300), g3(100) f4(200), g3(200) f4 (100), g3(300) f4 (0)}
s4 x4
表2 k=4 时决策表
g4 (x4 )
0 100 200 300 400 500 600
f4(s4) x4
00
0
0
100 0 28
28
100
200 0 28 47
47
200
300 0 28 47 65
65
300
400 0 28 47 65 74
74
400
500 0 28 47 65 74 80
80
500
600 0 28 47 65 74 80 85 85
600
表1 利润增长额 gi (x j ) （百元）
投资额
(j) 工厂(i)
47 0
0+65 18+47 39+28 61+0
67 200
0+74 18+65 39+47 61+28 78+0
89 300
0+80 18+74 39+65 61+74 78+28 90+0
108 300
0+85 18+80 39+74 61+65 78+47 90+28 95+0 126 300
100 200 300 400 500 600 f2 (s2 )
x
2
0 0+0
00
100 0+28 25+0
28 0
200 0+47 25+28 45+0
53 100
300 0+67 25+47 45+28 57+0
73 200
400 0+89 25+67 45+47 57+28 65+0
同样问：s3 =？，即现在还有多少钱？它是允许决策集上界。
同理 s3 S3 {0,100 ,200 ,300 ,400 ,500 ,600}
表1 利润增长额 gi (x j ) （百元）
投资额
(j) 0 100 200 300 400 500 600 工厂(i)
3
0 18 39 61 78 90 95
s1 600
投资x1
工厂1
状态 s2
投资x2
工厂2
状态 s3
投资x3
工厂3
投资x4
状态 s4 工厂4 s5
g1 ( x1 )
s2 s1 x1 g2 (x2 ) s3 s2 x2
s4 s3 x3 g3 (x3 )
g4 (x4 )
表1 利润增长额 gi (x j ) （百元）
资源分配问题 （离散型）
例：设有6万元资金用于4个工厂的扩建，已知每个工厂的利
润增长额同投资额的大小有关，见下表。问应如何确定对这
四个工厂的投资额，使总利润增长额最大？
表1 利润增长额 gi (x j ) （百元）
投资额
(j) 0 100 200 300 400 500 600
工厂(i)
1
0 20 42 60 75 85 90
s2 s1 x1 g2 (x2 ) s3 s2 x2
s4 s3 x3 g3 (x3 )
g4 (x4 )
表1 利润增长额 gi (x j ) （百元）
投资额
(j) 0 100 200 300 400 500 600
工厂(i)
4
0 28 47 65 74 80 85
解：（1）k=4时 考虑：若到最后一个，第4个工厂投资时，还有资金 s4 ， 若投资于第4个工厂的资金为 x4 ，则最大利润为
工厂(i)
时， 4
0 28 47 65 74 80 85
f4 (s4 )

max {g
0x4 s4
4
(
x4
)}

max{g
0x4 0
4
(
x4
)
}

max{g
x4 0
4
(
x4
)
}
max{0} 0.
x4 0
s4 100 时，
f4 (s4 )

max {g
0x4 s4
4
(
x4
max{0 f3(600),25 f3(500), 45 f3(400),57 f3(300), 65 f3(200),70 f3(100), 73 f3(0)}
表3 k=3 时决策表
x3
s3
0 100 200 300 400 500 600
g 3 (x3 ) f4 (s3 x3 )
f3 (s3 ) x3
0 100 200 300 400 500 600
0+0
00
0+28 18+0
28 0
0+47 18+28 39+0
47 0
0+65 18+47 39+28 61+0
67 200
0+74 18+65 39+47 61+28 78+0
89 300
0+80 18+74 39+65 61+74 78+28 90+0
0 0 28 0 28 0 28 0 28 0 28 0 28
47 47 65 47 65 74 47 65 74 80 47 65 74 80 85
f 4 (s4 )
x
4
0
0
28
100
47
200
65
300
74
400
80
500
85
600
表1 利润增长额 gi (x j ) （百元）
投资额
(j) 0 100 200 300 400 500 600
108 300
0+85 18+80 39+74 61+65 78+47 90+28 95+0 126 300
f2 (600) max{0 f3(600),25 f3(500),45 f3(400),57 f3(300), 65 f3(200),70 f3(100),73 f3(0)}
x3 200
所有情况讨论结果汇总成下表：
表3 k=3 时决策表
x3
s3
0 100 200 300 400 500 600
g 3 (x3 ) f4 (s3 x3 )
f3 (s3 )
x
3
0 100 200 300 400 500 600
0+0
00
0+28 18+0