mx mx qBy
即：
d mx mx qBy 0
dt 于是有 mx mx qBy 是常量。这就是水平方向正则动量守恒。接下来重复（1）问中的工 作：设轻杆与桌面之间夹角为 时 m 的速度为 v ， m 相对于它的速度为 u ，则有水平方向
正则动量守恒：
mv m u sin v qBl 1 sin 0
n 1 1n v1 v2 R
v2
2
aR
2n a
R
1 2R v2
n
2R v
n 1 R
将 v2, v 带入计算或者数值计算得到：
n 1.3
题五（20 分） 骑行吧！黄俏！【改编自美国 USAPhO2014】
（是的，还是那张毫无 PS 痕迹的图(￣y▽￣)╭）
9 / 16
雄性的黄俏为了博取雌性老婆的欢心，需要做一些危险的事情来表现自己的魅力。 黄俏老
=
3 2
m0 r,I
=
1 6
m0 r
I I
3 9
=0
（3）最高点处速度为零，由机械能守恒可得：
1 mr 2 + 1 1 mr22 =mg l sin 60-r
2
22
其中
=
2 3
0
，
解得：
3g 3l-2r
0 =
2r 2
在最高点处不会翻，则有对 A 点力矩：
Mg l mg cos 60l-r tan 30
x
处一小段微元的质量为
dm
m h
dx
，仍然以黄俏为参考系，独轮车底部为轴
重力的力矩为
M g
h m gx cos dx= 1 mgh cos
0h
2
离心力的力矩
10 / 16
M
h 0
m h
22
R
x
cos
x
Hale Waihona Puke sindx=m22h
sin
R 2
h 3
cos
两者力矩平衡，大小相等，得到
2
g R
cot
6m 3M gl sin
2Ml2 6ml2 3mr2
6 / 16
最上面的那只蔡子星人的加速度可以在圆环中心的平动参考系中考虑，相对的加速度由两 部分组成：即向心加速度和由相对转动的角加速度产生的加速度，分别为：
a 2r, r
方向如图。得到地面系中其加速度为：
（2）
a1 2r l 2 r 2
忽略对气体的阻力，活塞光滑；活塞速度远小于声速，因此可以视作准静态过程；大气压
11 / 16
P0
mg S
, P0
P1 ； L 足够长。已知绝热过程满足 PV
为常量，其中
CV R CV
为比热
容比。
（3）求活塞能达到的最大高度 H 所满足的方程。认为（2）中的近似条件仍然成立。
【难度】 2 【分析】 由于绝热，可以方便的使用能量关系，使问题变得更简单。 【解答】
3 / 16
在 m 的非惯性参考系中， m 的合力提供向心力：
联立以上方程化简得：
ma cos +T +mg sin =m u2 l
m sin2 2m sin m m 0
有解，要求判别式
2m2 4mm m 4mm 0
因此要求
mc 0
得到
（2）
0 90
有磁场的时候建立如图坐标，则有水平方向动力学方程：
设支持力为 N ，摩擦力为 f ，则重力为 mg ，离心力为 m02R
因为力的平衡有 N m02R ； f mg
因为临界有：
f N
g = 02R
（2）和前面一问同理，独轮车底部为轴力矩平衡可以有：
1 2
mgh cos
1 2
m12Rh sin
得到 1 =
g tan R
（3）这回要考虑到质量分布的影响，引入变量 x 表示从独轮车底部开始算起的长度。
2 M l-r/ 3 m l
题二（20 分）
轻质杆上下两端分别固连一个质量为 m 和 m 的质点。将此哑铃状物体竖直放在光滑水平桌 面上，微扰后不难发现：当 m 0 时 m 与桌面之间作用力立即变为零；当 m 时，m
与桌面之间作用力始终不为零。于是当 m mc 时， m 与桌面之间作用力始终不为零。
AB 正压力的冲量为 I ，摩擦力的冲量 I 严 AB 方向为正，则有垂直于 AB 方向的动量定理：
m0r sin 60=I
1 / 16
沿 AB 方向的动量定理：
mv0 cos 60+I =mr
相对圆柱中心轴的角动量定理：
解得：
1 2
mr
20
-I
r
=
1 2
mr
2
不滑动要求： 得到：
=
2 3
0
,I
热容为 CV
5 2
R 的理想气体。
（1）初始时关闭阀门 S1 ，并向高压储气缸内充气。充气装置可以向高压储气缸内注入压强 P1 ，温度 T0 的恒定的高压空气，由于初始时储气缸内气体很少，可直接视为真空。求高压 储气缸内气压达到 P1 时的温度 T1 。 （2）高压气缸中充气达到 P1 后关闭阀门 S2 ，再打开 S1 之后气体将推动活塞向上发射。假 设游客及座位等附属装置的影响可等效为活塞有一个质量 m ，求活塞速度的最大值 vm 。答 题时使用以下近似条件：初始时动力气缸中活塞以下的体积忽略不计， S1 处开口足够大可
1
2h 3R
cos
1
题六（20 分） 气压弹射跳楼机 气压弹射是跳楼机的一种动力来源，我们将建立简单模型来分析其工作原理。动力气缸截面
积为 S ，长度为 L ，其内活塞截面积也为 S ，高压储气缸体积为V0 ；两气缸之间有阀门 S1 。
高压储气缸与充气装置相连，之间有阀门 S2 。气缸及活塞都视作绝热，空气视为摩尔等容
作质量均匀分布。启动后摆臂在水平轴处外力矩作用下来回摆动并增加摆幅，同时环形座椅
在辐条中心电机的作用下保持匀速转动，从 O 点看去是大小为 的顺时针转动。若摆臂最
高处与竖直方向夹角为0 ，并在此时撤去外力矩，忽略各处阻力。
（1）求此时位于座椅中最高点处的那只蔡子星人的加速度。 （2）求转回最低点时最左边那只蔡子星人的加速度。
【问难度】 （1）2 （2）2 【分析】
（1）中水平动量守恒、机械能守恒可求得两球速度， m 的离心力足够大时可以使 m 脱离
地面；（2）有磁场时可以使用水平方向正则动量守恒。 【解答】
（1）设轻杆与桌面之间夹角为 时 m 的速度为 v ， m 相对于它的速度为 u ，则有水平方
向动量守恒：
mu sin -v =mv
复赛刷题派对第四套
题一（20 分）
命题人： 唐鹏 蔡子星 孙鹏 满分 160 分考试时间 180 分钟
质量为 M 、截面是棱长 l 的正六边形的均匀薄壁筒内，有另一质量 m 、半径为 r l 的质 4
薄壁筒中以角速度0 作纯滚动，之后将与薄壁筒 AB 侧面相碰，碰撞的时间很短。 （1）若碰撞中实心圆柱不脱离 AB 面且碰后瞬间不发生相对滑动，求实心圆柱与薄壁筒之 间摩擦系数的最小值 0 ；
2
r
6m 3M gl2 sin
2Ml2 6ml2 3mr2
2
6m 3M glr sin
2Ml 2 6ml 2 3mr 2
2
设最低点处摆臂角速度为 ，则有机械能守恒：
解得：
1 J 2 mgl 1 cos Mg l 1 cos
2
2
2
62m
2Ml 2
M gl 1 cos
效数字即可。
【难度】 2 【分析】 逐次成像即可。 【解答】
先考虑球面反射成像，设像距为 v ，则有：
11 2 av R
得到：
v aR 2a R
再考虑折射成像，设各次成像的像距分别为 v1, v2 , v3 ，则有第一次折射：
第二次折射：
1 n n 1 a v1 R
8 / 16
上面两式相加得到： 第三次折射：
机械能守恒： 解得：
mgl 1-sin = 1 mv2 + 1 m u sin -v2 +u cos 2
2
2
u2 = 2m+m g 1 sin
l
m sin2 +m+m
设此时杆的拉力为 T ， m 加速度为 a 向右为正，则对 m 水平方向动力学方程：
桌面张力刚好为零：
ma=T cos mg=T sin
6ml2 3mr2
同样在圆环中心的平动系中看，可以得到最左边那只蔡子星人的角速度有两个，一个是自转
的 ，另一个是跟随摆臂转动的角速度 ，加速度分别为：
a 2r, a 2r
7 / 16
而 O 的加速度为 aO 2l ，于是得到最左边那只蔡子星人的加速度为：
a2 2l 2 a a2
（2）求碰撞结束瞬间实心圆柱的角速度；
（3）实际上要使其纯滚，在 AB 上的摩擦系数应大于 0 ，我们让它依然纯滚。若在碰撞之 后立即解除对薄壁筒的固定，在之后的运动中实心圆柱刚好不能接触 BC 侧面，且薄壁筒保 持静止，求0 满足的关系及 M 的最小值。
【难度】 2 【分析】 由于静摩擦力不能超过最大静摩擦，因此摩擦力的冲量与碰撞正压力的冲量之间的关系可以 得到摩擦系数满足的关系。 【解答】 （1）纯滚动时速度与角速度之间的关系有 v=r ，碰撞时受到垂直于 AB 的冲量，由于碰撞 时间很短，因此重力以及水平面对其冲量都可以忽略不计，设碰后瞬间圆柱的角速度为 ，
得到：
mu sin qBl 1 sin
v m m
洛伦兹力不做功，机械能守恒：
4 / 16