的通项公式．
解：
an1
an 2an 1
数列 1 anLeabharlann 是首项为 1 a1
1，公差为2的等差数列
1 2an 1
an1
an
整理得： 1 1 2 an1 an
1 1 2(n 1) 2n 1 an
an
1 2n 1
数列的前n项和 我们把 a1 a2 an 称作数列的前n 项和，通常记为Sn a1 a2 an
知识点一 等差数列通项公式的推广
思考 1 已知等差数列{an}的首项 a1 和公差 d 能表示出通项 an＝a1＋(n－1)d，如果已知第 m 项 am 和公差 d，又如何表示通项 an?
解 an a1 (n 1)d am a1 (m 1)d
两式相减得：an am (n m)d
即an am (n m)d
必修5 第二章 数列
§2.2 等差数列(二)
累加法与累乘法
（1）递推公式形如 an1 an f (n) ，可用累加法求通项公式 （2）递推公式形如 an1 f (n) ，可用累乘法求通项公式
an
等差数列的概念
等差数列： 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示，可 正可负可为零．
法二： a3 a4 a5 a6 a7 450
(a3 a7 ) (a4 a6 ) a5 450 5a5 450 a5 90
a2 a8 2a5 180
跟踪训练 2 等差数列an 中，a1 a4 a7 39, a2 a5 a8 33,则a3 a6 a9
3n2 2n (3n2 8n 5) 6n 5 an 6n 5(n 2) a1 1也满足an 6n 5
an 6n 5
（2） Sn 3n 1
解：由题得 a1 S1 4 当n 2时 Sn1 3n1 1
an Sn Sn（1 n 2）
3n 1 (3n1 1) 3n 3n1 3 3n1 3n1 2 3n1 an 2 3n（1 n 2） a1 4不满足an 2 3n1
知识点三 由等差数列衍生的新数列
知识点四 等差数列的判定方法
1.定义法：an1 an 常数（n N * ） an 为等差数列；
2.中项公式法：2an1 an an2 （n N * ） an 为等差数列；
3 通项公式法：an kn b （n N * ） an 为等差数列.
例 3 已知数列an 中，a1 1 ， an1 an an1 an ，则数列通项an ___________．
a3 a4 a2 a5
猜想：在等差数列中若 m n p q，则有am an ap aq
知识点二 等差数列的性质
猜想：在等差数列中若 m n p q，则有am an ap aq
证明： an a1 (n 1)d ，am a1 (m 1)d
am an 2a1 (m n 2)d 同理：ap aq 2a1 ( p q 2)d
解： an1an an1 an (两边同除： an1an )
1 1 1 1 1 1
an an1
an1 an
数列
1 an
是首项为
1 a1
1，公差为1的等差数列
1 1 (n 1) (1) n an
an
1 n
跟踪训练3
在数列an 中，满足a1
1 ， an1
an 2an
1
，试求数列an
）
A.45
B.75
C. 180
D.300
法一： a3 a4 a5 a6 a7 450 (a1 2d) (a1 3d) (a1 4d) (a1 5d) (a1 6d) 450
5a1 20d 450 a1 4d 90
a2 a8 2a1 8d 2(a1 4d ) 180
a3 9，a7 17
d a7 a3 2 73
an a3 (n 3)d 2n 3
知识点三 由等差数列衍生的新数列
思考：将等差数列的奇 数项排列成数列 a1，a3，a5，a7， ，此数列是等差数列吗 ？
思考 若{an}是公差为 d 的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？
an 2n 11
(2)－1,11,23,35，…； an 12n 13
(3)8,5,2，…；
an 3n 11
(4)－5，－9，－13，…；an 4n 1
(5)a，a，a，a，a，…. an a
等差数列通项公式： an kn b，其中k为此数列的公差
跟踪训练 数列{an}的通项公式 an＝2n＋5，则此数列( ) A．是公差为 2 的等差数列 B．是公差为 5 的等差数列 C．是首项为 5 的等差数列 D．是公差为 n 的等差数列
a1 2不满足an 2n 1 2 ，n 1
an 2n 1 ，n 2
数列的前n项和
思考：已知数列 an的前n项积为Tn
n2，则 a6 a5
__________
Tn a1 a2 a3 an1 an
Tn1 a1 a2 a3 an1
an
Tn（n Tn1
2）
谢谢！
例 1 在等差数列{an}中，已知 a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．
法一： a2 5，a8 17
aa11
d 5 7d 17
da1
3 2
d 2 an 3 2(n 1) 2n 1
法二： a2 5，a8 17 d a8 a2 2 82 an a2 (n 2)d
4 ，n 1 an 2 3n1 ，n 2
数列的前n项和
2 ，n 1
【练习】已知数列an 的前n 项和为 Sn n2 1，则an __2_n___1__，___n____2
a1 11 2
n 2时，an Sn Sn1
n2 1 (n 1)2 1
2n 1
an 2n 1(n 2)
法一： a3a7 153，a2 a8 26
法二： a2 a8 26
(a1 2a1
2d )(a1 8d 26
6d
)
153
a3 a7 26 又 a3a7 153
a3与a7为方程x2 26 x 153 0的两根
由（x 9）(x 17) 0 解得：x 9或x 17
d 0 a3 a7
mn pq am an ap aq
知识点二 等差数列的性质 梳理 在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq.
特别地，若 m＋n＝2p，则 an＋am＝2ap.
例 2 在等差数列an 中,若a3 a4 a5 a6 a7 450 ，则a2 a8 （
5 2(n 2) 2n 1
d 2 an 2n 1
跟踪训练 1 一个等差数列中a15 = 33， a25 = 66，则a35 =_____．
知识点二 等差数列的性质
思考 用a1 和 d 表示下列两组值a3 a4 ，a2 a5 ，你有怎样的猜想？
a3 a4 a1 2d a1 3d 2a1 5d a2 a5 a1 d a1 4d 2a1 5d
（） A．30
B．27
C．24
D．21
a1 a4 a7 39 3a4 39 a4 13
a2 a5 a8 33 3a5 33 a5 11
a3 a6 a9 3a6
【思考】已知等差数列{ an }中，d＞0，a3a7 =153 ，a2 a8 =26，求数列{an }的通项公式．
S1
常用公式： an
，n 1
Sn Sn1 ，n 2
数列的前n项和
【例】已知下列各数列an 的前n 项和为 Sn ，求数列an 的通项公式.
（1） Sn 3n2 2n ；
解：由题得 a1 S1 1 当n 2时 Sn1 3(n 1)2 2(n 1) 3n2 8n 5 an Sn Sn（1 n 2）
等差数列递推公式： an1 an d
梳理 如果三个数 a，A，b 组成等差数列，那么 A 叫做 a 和 b 的等差中项，且 A＝a＋b. 2
首项为a1，公差为d的等差数列的通项公式 为：__a_n___a_1 __(_n__1_)_d____
例 写出下列等差数列的通项公式
(1)9,7,5,3，…；