• 这个双寡头竞争模型表述成一个策略型博弈，其 三要素为：
– 两个局中人：企业1和企业2 – 每个企业的策略集（0，∞） – 企业 i 的支付函数即其利润函数：
π i q1 , q2） (a − q1 − q2 )qi − ci qi （ =
• 用连续情形纳什均衡的检验方法来计算纳什均衡：
π 1 q1 , q2） (a − q1 − q2 )q1 − c1q1 （ =
乙 a 2 A 2 3 甲 B 1 0 C 2 2 2 3 2 3 2 3 2 b 1 0 2 c 2
• 谁想偏离纳什均衡另搞一套，利益角逐的 最终结果，还是要回到原来的纳什均衡的 位置。 • 只有纳什均衡才是博弈的稳定对局。
2-10纳什均衡的应用
• 古诺竞争模型
– 两个企业之间进行的一个策略型博弈，企业1和企业2， 这两个企业生产同质的产品，共同占有这种产品的市场。 记企业1的产量为 q1，企业2的产量为q 2 ，则两个企业的 总产量就是 q = q1 + q 2 。 – 设这种商品的市场需求曲线 q = a - p ， a为常数 – 市场的反需求函数 p(q) = a - q – 设企业 i 生产 q i 单位产品的总成本是 ci qi ，其中 ci 是 正常数， i =12 ,
策略型博弈的纳什均衡定义
• 符号约定：
• 当策略集不是有限集的时候，无法运用已经学过 的劣势策略消去法，相对优势策略划线法和箭头 指问法。但是，对于策略集都是实数的开区间并 且支付函数都是可微的多元函数的情形，运用微 分方法可以找出纳什均衡。
策略集都是实数的开区间且支付函 数都是可微的多元函数
= u1 x, y, z） - x 4 + 14 x 3 /3 − [5 + 2( y + z )]x 2 + 4( y + z ) x （ = u（x, y, z） − y / 2 + zy 2
2
= u（x, y, z） z 2 / 2 + (1 − y ) z 3
求纳什均衡解。
2-9“最后归宿”博弈
• 这个双寡头竞争模型表述成一个策略型博弈，其 三要素为：
– 两个局中人：企业1和企业2 – 每个企业的策略集是价格，而非产量： [0，∞） – 企业 i 的支付函数即其利润函数：
π i pi , p j） qi ( pi , p j )( pi − c) = (a − pi + bp j )( pi − c) （ =
i = 1,2
∂π 1 p1 , p2） （ = −2 p1 + bp2 + a + c = 0 ∂p1
∂π（p1 , p2） 2 = bp1 − 2 p2 + a + c = 0 ∂p2
a+c p = p2 = 2−b
* 1 *
2-11 纳什均衡的观察与验证
• 假设两个人分一百块钱，每个人独立地提 出自己要求的数额，并把要求写在一张纸 上，然后由公正的第三方来主持和判定最 终的分配结果。规则是这样的：设 x1 为第 一个人要求的数额，x2 为第二个人要求的数 额，如果 x1 + x2 ≤ 100 ，则每个人得到自己要 求的数额；否则，两人一分钱都得不到。 • 请猜测纳什均衡的结果。
具体操作方法
• 依次考察矩阵型博弈的每个策略组合，如果在这 个策略组合某个局中人能够通过单独改变策略选 择增加自己的支付，则从所分析的策略组合下他 所对应的支付处引一箭头，指向他单独改变策略 后新的策略组合下他所对应的支付。当所有策略 组合都这样处理完了以后，没有箭头指出去的那 些格子表征的策略组和2时，每个人都愿意出100块钱；当 N ≥ 4时，没有人愿意出钱。因为当参与分钱的 人数大于钱增加的倍数时，对于任何一个参与 人，自己出钱是件亏本的事情，只有当参与分钱 的人数小于钱增加的倍数时，自己出钱才是划算 的。所以没有人出钱就是纳什均衡。 • N＝3，每人都出100元是这个博弈的一个纳什均 衡。每个局中人都不出钱，也是一个纳什均衡。
• 可得方程组唯一解：
* 1
a + c2 − 2c1 q = 3
a + c1 − 2c2 q2 = 3
*
• 二阶导数计算：
∂ 2π 1 q1 , q2） （ = −2 ＜ 0 2 ∂q1
2
∂ π（q1 , q2） 2 = −2 ＜ 0 2 ∂q2
∴ q ，q2 ）是博弈的纳什均衡解。 （
* 1 *
第二章同时决策博弈(1) 回顾
• 2-1二人同时博弈的三要素
– 局中人，策略，支付的含义和数学表达 – 策略集，策略组合，支付函数，支付向量
• 2-2支付矩阵
– 二人博弈的一般性矩阵表示 – 有限博弈，T.C.Schelling的双矩阵形式，三人博弈 – 正规型(策略型)博弈定义
• 2-3 优势策略
2-12 弱劣势策略消去法的讨论
严格纳什均衡和普通纳什均衡
• 公明博弈中的一个纳什均衡就被普通劣势策略消 去法错过了。 • 纳什均衡也有严格纳什均衡和普通纳什均衡之分。
– 普通纳什均衡只是说任何局中人单独把策略从均衡改 变出去没有好处，不会得到好处。但是，没有好处也 不一定有坏处。在公明博弈中右下方格子就是一个普 通纳什均衡。 – 严格纳什均衡不仅是单独改变没有好处，而且指那些 谁单独改变策略谁就要倒霉的纳什均衡。在公明博弈 中左上方格子就是一个严格纳什均衡。
极值的必要条件，是函数的所有偏导数都等于0。
连续情形纳什均衡的必要条件
连续情形纳什均衡的检验方法
• 例：设一个3人的策略型博弈，每个局中人的策 略集都是正实数开区间（0，∞ ），他们的策略变 量分别是x，y，z，他们的支付函数分别是：
（ = u1 x, y, z） 2 xz − x y
2
= u（x, y, z） 12( x + y + z ) − y 2 = u（x, y, z） 2 z − xyz 3
• 任何满足 x1 + x2 = 100 的分配数对( x1 ， x2 )都 构成这个二人博弈的纳什均衡，因此，这个博弈 存在无数个纳什均衡。
• 一个有N个人参加的游戏：每个人可任意放 最多100块钱到一部可以生钱的机器里，机 器把所有人放进去的钱的总和增加到原来 的3倍，然后再平分给这N个人。你能猜出 这个N人博弈的一个纳什均衡并给出相应的 证明吗?
求纳什均衡解。
2
• “纳什均衡检验方法” 只是确定纳什均衡的一 种方法。还有一些纳什均衡，不能由它确 定。纳什均衡检验方法的最大缺陷是要求 满足一阶条件的“必要解”唯一。 • 但是，必要解不唯一，并不等于博弈不存 在纳什均衡。
• 例：设一个3人的博弈 G = {S1, S 2, S3 ; u1, u 2, u 3} 中，每 个局中人的策略集都是正实数开区间（0，∞ ）， 他们的策略变量分别是x，y，z，他们的支付函 数分别是：
= − q1） + (a − q2 − c1 )q1 （
2
π（q1 , q2） (a − q1 − q2 )q2 − c2 q2 = 2
= − q2） + (a − q1 − c2 )q2 （
2
∂π 1 q1 , q2） （ = −2q1 + a − q2 − c1 = 0 ∂q1
∂π（q1 , q2） 2 = −2q2 + a − q1 − c2 = 0 ∂q2
• 2-6 相对优势策略划线法
第二章 同时决策博弈(2)
• 2-7箭头指向法 • 2-8纳什均衡的正式定义 • 2-9“最后归宿”博弈 • 2-10纳什均衡的应用 • 2-11 纳什均衡的观察与验证 • 2-12 弱劣势策略消去法的讨论
2-7箭头指向法
• 基本思路：
– 对博弈中的每个策略组合进行分析，考察在这 个策略组合下各个局中人是否能够通过单独改 变自己的策略而增加支付。
– 优势策略，整体的严格优势策略，弱优势策略 – 劣势策略，整体的严格劣势策略，弱劣势策略 – 严格劣势策略逐次消去法(IESDS)
• 2-4优势策略均衡
– 优势策略均衡，严格优势策略均衡，公明博弈 – 普通劣势策略消去法，寻找优势策略均衡求解 的局限
• 2-5 相对优势策略和纳什均衡
– 相对优势策略,纳什均衡,检验纳什均衡
伯川德双寡头竞争模型
• 考虑两种有差异的产品，假设在企业1和企业2 这两个双寡头企业分别选择价格 p1 和 p 2的时候， 市场对企业 i 的产品的需求为：
（ = qi pi，p j） a − pi + bp j , i = 1,2, i ≠ j , a, b ＞ 0
b＞ 0
边际成本为一个共同的常数 c ＜ a
乙 坦白 -3 坦白 甲 抵赖 -5 -1 -3 0 0 -1 抵赖 -5
丽娟 足球 芭蕾
1
足球 大海 芭蕾
0 0
2 0 0
2 1
2-8纳什均衡的正式定义
• 在这个策略组合里，每个局中人的策略选择，都 是对于其他博弈参与人的策略选择的组合的最佳 策略选择。这种策略组合，叫做博弈的纳什均衡 (Nash equilibrium)。 • 纳什均衡是非合作博弈理论中最重要的一个概念。