例析反函数的几种题型及解法
反函数是高中数学中的重要概念之一, 也是学生学习的难点之一。
在历年高考中也占有一定的比例。
为了更好地掌握反函数相关的内容, 本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。
一. 反函数存在的充要条件类型
例 1. ( 北京高考) 函数f x x ax ()=--223在区间[]12，上存在反函数的充要条件是( )
A. (]a ∈-∞，1
B. [)a ∈+∞2，
C. (][)a ∈-∞+∞，，12
D. []a ∈12，
解析: 因为二次函数f x x ax ()=--223不是定义域内的单调函数, 但在其定义域的子区间(]-∞，a 或[)a ，+∞上是单调函数。
而已知函数f x ()在区间［1, 2］上存在反函数
因此[](]12，，⊆-∞a 或者[][)12，，⊆+∞a
即a ≤1或a ≥2
故选( C)
评注: 函数y f x =()在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。
特别地: 如果二次函数y f x =()在定义域内的单调函数, 那么函数f ( x ) 必存在反函数; 如果函数f ( x ) 不是定义域内的单调函数, 但在其定义域的某个子区间上是单调函数, 那么函数f ( x ) 在这个子区间上必存在反函数。
二. 反函数的求法类型
例2. ( 全国卷) 函数y x x =-≤2310()的反函数是( ) A. y x x =+≥-()()113 B. y x x =-+≥-()()113 C. y x x =+≥()()103 D. y x x =-+≥()()103
解析: 由x ≤0可得x 230≥, 故y ≥-1 从y x =-231解得x y =±+()13
因x ≤0 因此x y =-+()13 即其反函数是y x x =-+≥-()()113
故选( B) 。
评注: 这种类型题目在历年高考中比较常见。
在求反函数的过程中必须注意三个问题:
( 1) 反函数存在的充要条件是该函数在某一区间上是一一映射;
( 2) 求反函数的步骤: ①求原函数的值域, ②反表示, 即把x 用y 来表示, ③改写, 即把x 与y 交换, 并标上定义域。
其中例3在反表示后存在正负两种情况, 由反函数存在的充要条件可知, 只能根据函数的定义域( x ≤0) 来确定x y =-+()13, 再结合原函数的值域即可得出正确结论。
另外, 根据反函数的定义域即为原函数的值域, 因此求反函数时应先求出原函数的值域, 不应该直接求反函数的定义域。
例如: 求y x x x =--≤-2231()的反函数。
由x ≤-1可得{}y y |≥0 反表示解出x y -=±+14
由x ≤-1应取x y -=-+14 即x y =-+14 因此y x x =-+≥140()为其反函数。
( 3) f ( x ) 与f x -1()互为反函数, 对于函数y f x =+()1来说, 其反函数不是y f x =+-11(), 而是y f x =--11()。
同理y f x =+-11()的反函数也不是y f x =+()1, 而是y f x =-()1。
三. 求反函数定义域、 值域类型
例3. ( 北京春季) 若f x -1()为函数f x x ()lg()=+1的反函数, 则f －1( x ) 的值域为_________。
解析: 通法是先求出f ( x ) 的反函数f x x -=-1101(), 可求得f －1( x ) 的值域为()-+∞1，, 而利用反函数的值域就是原函数的定义域这条性质, 立即得f －1( x ) 的值域为()-+∞1，。
评注: 这种类型题目可直接利用原函数的定义域、 值域分别是反函数的值域和定义域这一性质求解。
四. 反函数的奇偶性、 单调性类型
例4. 函数y e e x x =--2的反函数是( )
A. 奇函数, 在( 0，+∞) 上是减函数
B. 偶函数, 在( 0，+∞) 上是减函数
C. 奇函数, 在( 0，+∞) 上是增函数
D. 偶函数, 在( 0，+∞) 上是增函数
解析: 因为e x 在( 0，+∞) 上是增函数, e x -在( 0，+∞) 上是减函数 因此y e e x x =--2
在( 0，+∞) 上是增函数 易知y e e x x =--2为奇函数
利用函数y f x =()与f －1( x ) 具有相同的单调性, 奇函数的反函数也为奇
函数这两条性质, 立即选( C) 。
五. 反函数求值类型
例5. ( 湖南省高考) 设函数f ( x ) 的图象关于点( 1, 2) 对称, 且存在反函数f x f -=140()()，, 则f -=14()___________。
解析: 由f ()40=, 可知函数f ( x ) 的图象过点( 4, 0) 。
而点( 4, 0) 关于点( 1, 2) 的对称点为( -2, 4) 。
由题意知点( -2, 4) 也在函数f ( x ) 的图象上, 即有f ()-=24, 因此f -=-142()。
评注: 此题是关于反函数求值的问题, 但又综合了函数图象关于点的对称问题。
在反函数求值时经常要用到这条性质: 当函数f ( x ) 存在反函数时, 若a f b =(), 则b f a =-1()。
如( 湖南省高考) 设f －1( x ) 是函数f x x ()log ()=+21的反函数, 若[][]
11811++=--f a f b ()(), 则f a b ()+的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. log 23
分析: 直接利用: 若a f b =(), 则b f a =-1()。
选( B) 。
六. 反函数方程类型
例6. ( 上海市高考) 已知函数f x x
()log =+⎛⎝ ⎫⎭⎪34
2, 则方程f －1( x ) =4的解x=_____________。
解析: 当函数f ( x ) 存在反函数时, 若a f b =(), 则b f a =-1()。
因此只需求出f ()4的值即为f －1( x ) =4中的x 的值。
易知f ()41=, 因此x =1即为所求的值。
评注: 此题除了这种方法外, 也能够用常规方法去求。
即先求出反函数f －1( x ) 的解析式, 再解方程f －1
( x ) =4, 也可得x =1。
七. 反函数不等式类型
例7. ( 天津市高考) 设f －1( x ) 是函数f x a a a x x
()()=->-2
1的反函数, 则f －1( x ) >1成立时x 的取值范围是( ) A. a a 212-+∞⎛⎝ ⎫⎭⎪， B. -∞-⎛⎝
⎫⎭⎪，a a 212 C. a a a 212-⎛⎝ ⎫⎭⎪， D. ()a ，+∞
解析: 由a >1, 知函数f ( x ) 在R 上为增函数, 因此f －1( x ) 在R 上也为
增函数。
故由f －1
( x ) >1, 有x f >()1 而f a a a a ()1121122=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=- 可得x a a
>-212 故选( A) 。
评注: 此题除了这种方法外, 也能够用常规方法去求, 但比较繁琐。
而下面的题目选用常规方法解则更为简便。