第二章开放式光腔与高斯光束1.证明如图2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为121 0ηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

证明：设入射光线坐标参数为11,rθ，出射光线坐标参数为22,rθ，根据几何关系可知211122,sin sinr rηθηθ==傍轴光线sinθθ则1122ηθηθ=，写成矩阵形式2121121 0r rθθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得证2.证明光线通过图2.2所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为1210 1dηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

证明：设入射光线坐标参数为11,rθ，出射光线坐标参数为22,rθ，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d，最后经界面2折射后出射。

根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得212121121 0 1 010 00 1r rdθθηηηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦化简后21211210 1dr rθθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得证。

3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。

证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：其往返矩阵为：由于是共焦腔，则有12R R L ==将上式代入计算得往返矩阵()()()121010110101nnnn n n r L r L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B C D T T T T T 可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。

于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。

4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。

解：共轴球面腔稳定性条件1201g g <<其中121211,1L Lg g R R =--=- 对平凹共轴球面镜腔有12,0R R =∞>。

则1221,1Lg g R ==-，再根据稳定性条件 1201g g <<可得22011LR R L <-<>⇒。

对双凹共轴球面腔有，120,0R R >>则12121,1L Lg g R R =-=-,根据稳定性条件1201g g << 可得11221212010 01 1R LR L R L R L R R L L R R L<<⎧>⎧⎪<<⎨⎨>⎛⎫⎛⎫<--<⇒ ⎪⎩⎪+> ⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 或。

对凹凸共轴球面镜腔有，120,0R R ><则12121,1,0L Lg g R R =-=>-根据稳定性条件1210101122110101A B L L T C D RR ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1001T -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1201g g << 可得121120111R L R R R L L R L ⎛⎫⎛⎫<--<⇒ ⎪⎪⎝⎭+⎝><⎭⎧⎨⎩。

5. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m 的凸面镜和曲率半径为2m 的凹面镜组成，工作物质长0.5m ，其折射率为1.52，求腔长L 在什么范围内是稳定腔。

解：设两腔镜1M 和2M 的曲率半径分别为1R 和2R ，121m,2m R R =-= 工作物质长0.5m l =，折射率 1.52η=当腔内放入工作物质时,稳定性条件中的腔长应做等效,设工作物质长为l ,工作物质左右两边剩余的腔长分别为1l 和2l ，则12l l l L ++=。

设此时的等效腔长为L '，则光在腔先经历自由传播横向距离1l ，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离l ，再在工作物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离2l ，则所以等效腔长等于 21()llL l l L l ηη'=++=-+再利用稳定性条件由(1)解出 2m 1m L '>> 则 所以得到：1.17m<2.17m L <6. 图2.3所示三镜环形腔，已知l ，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R 在什么范围内该腔是稳定腔。

图示环形腔为非共轴球面镜腔。

在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的(cos )/2F R θ=，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，011 1 (1)21L L ''⎛⎫⎛⎫<-+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭10.5(1)0.171.52L L L ''=+⨯-=+21211011101110010100101101L l l l l l l ηηη⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦/(2cos )F R θ=，θ为光轴与球面镜法线的夹角。

图2.1解：22222101011211010111442132221A B l l C D FF l l l l F F F l l Fl F ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦()221312l l A D F F+=-+ 稳定条件 223111l lF F-<-+<左边有 22320210l lF Fl l F F -+>⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以有21l l F F ><或对子午线：对弧矢线： 对子午线和弧矢光线分别代入上述不等式得 子午光线 弧矢光线cos 2R F θ=子午2cos R F θ=弧矢R R <<>或R R <<>或任意光线需同时满足子午线与弧矢线的条件得7. 有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L =30cm ，方形孔边长20.12cm d a ==，λ=632.8nm ，镜的反射率为121,0.96r r ==，其他的损耗以每程0.003估计。

此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择00TEM 模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一个大略的估计。

氦氖增益由公式估算（l 为放电管长度，假设l L ≈）解：01TEM 模为第一高阶横模，并且假定00TEM 和01TEM 模的小信号增益系数相同，用0g表示。

要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式根据已知条件求出腔的菲涅耳数由图2.5.5可查得00TEM 和01TEM 模的单程衍射损耗为氦氖增益由公式计算。

代入已知条件有0e 1.075g l =。

将0e g l、00δ、01δ、1r 和2r 的值代入I 、II 式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式II 的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。

为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。

若满足II 式的条件，则要求010.047δ>根据图2.5.5可以查出对应于01δ的腔菲涅耳数 '0.90N < 由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长923R R <<>或04e1310g lld-=+⨯00001e 0.003) 1 I e 0.003) 1 IIg g δδ-->--<2270.06 1.930632.810a N L λ-===⨯⨯8.37006011010δδ--≈≈04e 1310g l L d-=+⨯220.83mma==同理利满足I式的条件可得20.7mma>因此，只要选择小孔阑的边长满足0.720.83mmmm a<<即可实现00TEM模单模振荡。

8．试求出方形镜共焦腔面上30TEM模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？解：在厄米-高斯近似下，共焦腔面上的30TEM模的场分布可以写成令X=，则I式可以写成()22(/)30303(,)H ex yLv x y C Xλπ+-=式中()3H X为厄米多项式，其值为()33H8-12XX X=由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令()3H0X=，得1230;X X X===考虑到0sω=所以，30TEM模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在0和0s/2处，节线之间0s/2；而沿y方向没有节线分布。

9. 求圆形镜共焦腔20TEM和02TEM模在镜面上光斑的节线位置。

解：在拉盖尔—高斯近似下，可以写成如下的形式()⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-ϕϕωωϕυωmmerLrCr srsnmmsmnmn sincos22,20222对于mnTEM，两个三角函数因子可以任意选择，但是当m为零时，只能选余弦，否则无意义对于20TEM：()⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-ϕϕωωϕυω2sin2cos22,20222222020srsserLrCr22(/)30303(,)H e Ix yLv x y Cλπ+-⎫=⎪⎪⎭120s30s0;;x x x===并且1220220=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s r L ω，代入上式，得到()⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-ϕϕωϕυω2sin 2cos 2,202202020sr s e r C r ， 取余弦项，根据题中所要求的结果，我们取()02cos 2,202202020=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-ϕωϕυωsr s e r C r ，就能求出镜面上节线的位置。

即43,402cos 21πϕπϕϕ==⇒=同理，对于02TEM ，()202202202020220202000202222,ssr sr s s e r L C e r L r C r ωωωωωϕυ--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=404202202022412s s s r r r L ωωω+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，代入上式并使光波场为零，得到()02412,202404202000202=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-sr s s s er r r C r ωωωωϕυ显然，只要0241240420220202=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s s s r r r L ωωω即满足上式镜面上节线圆的半径分别为：s s r r 0201221,221ωω-=+= 10. 今有一球面腔，1 1.5m R =，21m R =-，80cm L =。

试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。

解：该球面腔的g 参数为由此，120.85g g =，满足谐振腔的稳定性条件1201g g <<，因此，该腔为稳定腔。