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只要证明蕴涵式(p ∧ (p q)) q为重言式即可。 三种方式证明：真值表、 等值演算、 主析取范式。 例：判断下列推理是否正确。 1、今天小李或去网吧或去教室。他没去教室，所以
他去网吧了。 设 p：小李去网吧。q：小李去教室。则
前提：p ∨ q , q 结论：p 推理的形式结构： ((p ∨ q) ∧ q) p
<AX(I)，R(I)>为I 的形式演算系统
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自然推理系统 P 定义如下： 1、字母表
（1）命题变项符号：p,q,r,… （2）联结词符号： ，∧，∨，， （3）括号与逗号：() , 2、合式公式 定义同1.6 3、推理规则
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3.1 推理的形式结构
关于定义3.1的说明： （1）由前提A1，A2，…Ak 推 B 的推理
记作{A1，A2，…Ak}∧ B,称为推理的形式结构。 若推理正确，记作{A1，A2，…Ak}|=B ，
否则：记作{A1，A2，…Ak}|≠B。
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3.1 推理的形式结构
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（1）真值表
p q p∨q q (p∨q)∧q
00 0 1
0
01 1 0
0
10 1 1
1
11 1 0
0
((p∨q)∧q) p 1 1 1 1
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（2）等值演算法： ((p∧ q) ∧ q) p
((p∧ q )∧ (q∧ q)) p (p∧ q ) p (p∧ q )∧ p p∧ q∧ p 1
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8.构造性二难 (A→B)∧ (C→D)∧ ( A∧ C) (B∧ D)
(特殊形式) (A→B)∧ ( A→B)∧ ( A∧ A) B
9.破坏性二难 (A→B)∧ (C→D)∧ ( B∧ D)
( A∧ C)
判断推理是否正确，上述三种方法演算量太大， 故而应给出严谨的证明。证明是一个描述推理过 程的命题公式的序列，其中的每个公式或者是已 知前提，或者由某些前提应用推理规则得到的结 论.要构造出严谨的证明必须在形式系统中证明。
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3.2 自然推理系统P
定义3.2 一个形式系统 I 由下列四个部分组成： （1）非空的字母表集，记作A（I）。 （2）A(I)符号构造的合式公式集，记作E(I)。 （3）E(I)中一些特殊的公式组成的公理集,记作AX(I)。 （4）推理规则集，记作R(I)。 可以将I 记作为4元组<A(I),E(I),AX(I),R(I)> 其中< A(I)，E(I) >是I 的形式语言系统
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3、若下午气温超过30◦C，则王小燕必去游泳。若她 去游泳，她就不去看电影了。所以，若王小燕没去 看电影，下午气温必超过了30◦C。
p：下午气温超过30◦C
q：王小燕去游泳
r：王小燕去看电影
前提：p q，q r 结论： r p 形式结构： ((p q)(q r)) ( r p)
(2)对于任一组赋值，前提和结论的取值有以下四种 情况： ① {A1，A2，…Ak}为0，B为0。 ② {A1，A2，…Ak}为0，B为1。 ③ {A1，A2，…Ak}为1，B为0。 ④ {A1，A2，…Ak}为1，B为1。
结论: ① ② ④ 情况下的推理是正确的. ③ 情况下的推理是错误的.
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所以，推理正确，即((p∧ q)∧ q) p
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例：判断下列推理是否正确。 2、若a能被4整除，则天下雨。现在天下雨，所以a
能被4整除。 设 p： a能被4整除。q：天下雨。则， 前提：p q , q 结论：p 推理的形式结构： ((p q) ∧ q) p
答案： 此推理不正确
0
1
1
0
1
1
结论: (1) 式正确. (2)式推理不正确.
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定理3.1 命题公式A1，A2，…Ak 推 B 的推理正确当 且仅当 (A1 ∧ A2 ∧ … ∧ Ak) B为重言式。
（证明参见课本） 本书中, 一般采用(A1 ∧ A2 ∧ … ∧ Ak) B作为推 理的形式结构, 并且把它写成下面的形式. 前提：p , p q 结论：q 推理的形式结构： (p ∧(p q)) q
所以，推理正确，即((p∧ q)∧ q) p
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（3）主析取范式法： ((p ∧ q) ∧ q) p ((p ∧ q) ∧ q) ∧ p (p ∧ q) ∧ q ∧ p ( p ∧ q ) ∧ q ∧ p (p∧ q )∧ q∧ (p∧ p)∧ p∧ (q∧ q ) (p∧ q )∧ (q∧ p)∧ (q∧ p)∧ (p∧ q)∧ ( p∧ q ) m0 ∧ m1 ∧ m2 ∧ m3
第三章 命题逻辑的推理理论
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3.1 推理的形式结构
所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程. 本节所要研究的内容是以什么样的形式来进行 推理, 什么样的推理过程才是正确的推理过程, 也 就是说什么样的推理才是有效的推理.
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3.1 推理的形式结构
定义3.1 设A1,A2,…,Ak,B都是命题公式，若对于 A1,A2,…,Ak,B中出现的命题变项的任意一组赋值， 或者A1∧ A2∧ … ∧ Ak为假，或者当A1∧ A2∧ … ∧ Ak为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,Ak推 出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效的结 论。
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3.1 推理的形式结构
（3）推理正确, 并不能保证结论B一定为真, 这与数 学上的推理是不同的.
判断下列推理是否正确 (1) {p,pq}∧ q (2) {p,qp}∧ q
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3.1 推理的形式结构
pq
00 01 10 11
p∧(pq) q
0
Hale Waihona Puke 0010
0
1
1
p∧(qp) q
0
0
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推理定律
1.附加律
A (A ∧ B)
2.化简律 (A ∧ B) A
3.假言推理 (A→B) ∧ A B
4.拒取式 (A→B) ∧ B A
5.析取三段论 (A ∧ B) ∧ B A
6.假言三段论 (A→B) ∧ (B→C) (A→C)
7.等价三段论 (A B) ∧ (B C) ((A C)