陕西省咸阳市三原县南郊中学2019-2020学年高考适应性考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知F 是双曲线2218y C x -=：的右焦点，P 是C左支上一点， 0A （，当APF ∆周长最小时，则点P 的纵坐标为（ ） A．B．C．D．-2．已知双曲线1C ：22142x y -=，双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，则双曲线2C 的离心率为（ ） AB ．2CD ．13．已知直线l 过点()2,0-且倾斜角为α，若l 与圆()22320x y -+=相切，则3πsin(2)2α-（ ） A ．35 B ．35- C ．45 D ．45-4．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是正项等比数列，且11b = ,324355462,,2b b b a a b a a =+=+=+，则20199+=a b （ ） A ．2025B ．2529C ．2026D ．22755．已知函数()()f x x R ∈满足()()=f x f a x -，若函数25y x ax =--与()y f x =的图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，且12mi i x m ==∑，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知实数x ，y 满足113x y x y x -≥-⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则41x y z x ++=+的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．114D ．457．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x1B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 的图象关于直线3x π=对称D ．函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 8．若x ，y 满足约束条件102240x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y z x -=（ ）A ．有最小值32-，有最大值110-B ．有最小值32-，有最大值2 C ．有最小值110-，有最大值2 D ．无最大值，也无最小值9．若存在正实数x ，y 使得x 2+y 2（lny-lnx ）-axy=0（a ∈R ）成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．()0,+∞ D ．(]0,110．已知点()3,0A ，()0,3B ，()cos ,sin ααC ，若1AC BC ⋅=-u u u v u u u v，则sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．23 B．2 C．3 D ．1211．已知,αβ是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，条件:p a 与b 没有公共点，条件://q αβ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件12．设1F 和2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，若点()0,2P b ，12,F F 是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）A．y =B．y x = C．3y x=± D．y x = 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知()1121011012101112x a a x a x a x a x +=+++++L ，则12101121011a a a a -+-+=L _____.14．如图为函数()()20,2f x Asin x A πϕϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭的部分图象，对于任意的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，都有()12f x x +，则ϕ=__________．15．已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，SD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD 且满足222AB AD DC ===，2SC =，则球O 的表面积是_____．16．不共线向量，满足，且，则与的夹角为________.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,,23a b c a =其中，且()()()23sin sin sin b A B c b C+-=-．求角A 的大小；求△ABC 的面积的最大值.18．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为nS ，并且满足1111,2(1)3n n n a S a +==-求数列{}n a 的通项公式；设23(1)(log )n n n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项和为2nT．19．（12分）已知函数21()ln (,0)2f x m x x m R m =-∈>.若2m =，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；若()y f x =在[,]e e 上有零点，求m 的取值范围.20．（12分）已知等差数列{}n a 的首项1a 1=，且()()232λ226λ+=++、3a 1+、4a 2+构成等比数列．()1求数列{}n a 的通项公式 ()2设n n n 12b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S21．（12分）某中学图书馆举行高中志愿者检索图书的比赛，从高一、高二两个年级各抽取10名志愿者参赛。

在规定时间内，他们检索到的图书册数的茎叶图如图所示，规定册数不小于20的为优秀.从两个年级的参赛志愿者中各抽取两人，求抽取的4人中至少一人优秀的概率； 从高一10名志愿者中抽取一人，高二10名志愿者中抽取两人，3人中优秀人数记为X ，求X 的分布列和数学期望.22．（10分）在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，90ADC ∠=o，112BC CD AD ===，PA PD =，E ，F 分别为AD ，PC 的中点．(Ⅰ)求证：//PA 平面BEF ；(Ⅱ)若PE EC =，求二面角F BE A --的余弦值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 2、A 3、A 4、D 5、D 6、A 7、D 8、B 9、B 10、C 11、B 12、C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2214、4π15、5π 16、三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）πA 3=（2）最大值. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理得222a b c bc -=-，再由余弦定理求得1cosA 2=，即可求解； （2）利用余弦定理和基本不等式，求得bc 的最大值，再利用三角形的面积公式，即可求解面积的最大值，得到答案. 【详解】()1在ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c 且a =，且()()()b sinA sinB c b sinC -=-． 整理得()()()a b sinA sinB c b sinC +-=-， 利用正弦定理得222a b c bc -=-，又由余弦定理，得222b c a 1cosA 2bc 2+-==，由于0A π<<，解得：πA 3=． ()2由于πa A 3==，所以222a b c 2bccosA =+-， 整理得：2212b c bc 2bc bc bc =+-≥-=，所以ABC 11S bcsinA 12222V =≤⋅⋅=．当且仅当b c =时，ABC V 的面积有最大值. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18、 (Ⅰ) 13-=n n a (Ⅱ) 222n T n n =-【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意，由2S n ＝（113n-）a n+1可得2S n ﹣1＝（1113n --）a n，两式相减可得（1113n --）（a n+1﹣3a n ）＝0，变形可得：a n+1＝3a n ，据此分析可得数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，由等比数列的通项公式分析可得结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，a n ＝3n ﹣1，结合b n ＝（﹣1）n •（log 3a n ）2，分析可得数列{b n }的通项，分析可得b 2n ﹣1+b 2n ＝﹣（2n ﹣2）2+（2n ﹣1）2＝4n ﹣3，由此分析可得答案． 【详解】（1）根据题意，数列{a n }满足2S n ＝（113n-）a n+1，① 则有2S n ﹣1＝（1113n --）a n ，n 2,≥② ①﹣②可得：（1113n --）（a n+1﹣3a n ）＝0，n 2≥变形可得：a n+1＝3a n ，n 2≥又由a 1＝1，2a 1＝2S 1＝（113-）a 2，解可得a 2＝3，所以a 2＝3a 1 则数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，则a n ＝3n ﹣1； （2）由（1）的结论，a n ＝3n ﹣1，则b n ＝（﹣1）n •（log 3a n ）2＝（﹣1）n •（log 3（3n ﹣1）]2＝（﹣1）n （n ﹣1）2， 则b 2n ﹣1+b 2n ＝﹣（2n ﹣2）2+（2n ﹣1）2＝4n ﹣3； 数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝1+5+9+……+（4n ﹣3）()1432n n +-==2n 2﹣n ．【点睛】本题考查数列的求和以及数列的递推公式的应用，关键是求出数列{a n }的通项公式．19、（1）2230x y --=（2）2[,]2e e【解析】 【分析】（1）对函数进行求导，由()11f '=得切线的斜率，再由()112f =-，利用点斜式得到切线方程. （2）利用导数对m 分类讨论说明()f x 的单调性及极值，结合零点存在定理分别列出不等式，可求解m 的范围. 【详解】（1）2m =时，()112f =-，()2f x x x'=-， ∴()11f '=.故所求切线方程为112y x +=-，即2230x y --=.（2）依题意())1m f x x x x x x=-=' ①当0m e <≤时，()0f x '≤，()f x在e ⎤⎦上单调递减，依题意，()00f f e ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩，解得22e e m ≤≤ 故此时m e =.②当2m e ≥时，()0f x '≥，()f x在e ⎤⎦上单调递增，依题意，()00f f e ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩，即22m e e m ≤⎧⎪⎨≥⎪⎩此不等式无解.（注：亦可由2m e ≥得出()0f x >，此时函数()y f x =无零点） ③当2e m e <<时，若x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，x e ⎤∈⎦，()0f x '<，()f x 单调递减，由m e >时，02m ef-=>. 故只需()0f e ≤，即2102m e -≤，又22e e ≤，故此时22e e m <≤ 综上，所求的范围为2,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的零点、单调性、极值与最值问题，涉及零点存在定理的应用，属于中档题． 20、（1）n a 2n 1=-；（2）n 2nS 2n 1=+ 【解析】 【分析】()1设公差为d ，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d ，即可得到所求通项公式；() 2求得()()n n n 12211b a a 2n 12n 12n 12n 1+===--+-+，由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】()1等差数列{}n a 的首项1a 1=，公差设为d ，()()232λ226λ+=++、3a 1+、4a 2+构成等比数列，可得 ()()2324(a 1)a 1a 2+=++，即为()()2(22d)2d 33d +=++，解得d 2=或1-，当d 1=-时，2a 10+=，不成立，舍去，则d 2=，1a 1=， 可得n a 2n 1=-；()()()n n n 122112b a a 2n 12n 12n 12n 1+===--+-+，前n 项和n 1111112n S 113352n 12n 12n 12n 1=-+-+⋯+-=-=-+++． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题． 21、 (1)107135；(2)答案见解析. 【解析】 【分析】(1)由茎叶图知高一年级有4人优秀，高二年级有2人优秀，利用排列组合公式和对立事件公式求解概率值即可；(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3，分别计算相应的概率值可得X 的分布列，然后由期望公式计算数学期望即可. 【详解】(1)由茎叶图知高一年级有4人优秀，高二年级有2人优秀。