第六章非线性方程的数值解法习题解答
填空题：
1. 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是__________________。
Ans:1()1()n n n n n x f x x x f x +-=-
'-
2.求解方程
在(1, 2)内根的下列迭代法中，
(1)
(2)
(3)
(4)
收敛的迭代法是（A ）.
A ．(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1)
3.若0)()(<b f a f ，则0)(=x f 在),(b a 内一定有根。
( )
4．用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 ,进行两步后根的所在区间为 . （答案[0.5,1]， [0.5,0.75]）
计算题：
1、已知方程3210x x --=在 1.5x =附近有根，将方程写成以下三种不同的等价形式： ①2
11x x =+
；②32
1x x =+11x x =
- 试判断以上三种格式迭代函数的收敛性，并选出一种较好的格式。
解：①令121()1x x ϕ=+
，则'132()x x ϕ=-，'
13
2(1.5)0.592611.5ϕ=≈<，故迭代收敛； ②令3
2
2()1x x ϕ=+2'
2
32
2()(1)3
x x x ϕ-=+，'2
(1.5)0.45581ϕ≈<，故迭代收敛； ③令31()1x x ϕ=
-'
33
()2(1)x x ϕ=-，'3
(1.5) 1.41421ϕ≈>，故迭代发散。
以上三中以第二种迭代格式较好。
2、设方程()0f x =有根，且'0()m f x M <≤≤。
试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=- (0,1,2,)k =L 产生的迭代序列{}0k k x ∞
=对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞，当2
0M
λ<<
时，均收敛于方程的根。
证明：设()()x x f x ϕλ=-，则''()1()x f x ϕλ=-，故'1()1M x m λϕλ-<<-，进而可知， 当2
0M
λ<<
时，'1()1x ϕ-<<，即'()1x ϕ<，从而由压缩映像定理可知结论成立。
3、试分别用Newton 法和割线法求以下方程的根
cos 0x x -= 取初值010.5,4
x x π
==
，比较计算结果。
解：Newton 法：1230.75522242,=0.73914166,=0.73908513x x x =； 割线法：23450.73638414,=0.73905814,=0.73908515,=0.73908513x x x x =； 比较可知Newton 法比割线法收敛速度稍快。
4. 已知一元方程02.133
=--x x 。
1）求方程的一个含正根的区间；
2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)； 3）给出在有根区间的Newton 迭代法公式。
解：（1）08.1)2(,02.1)0(>=<-=f f 又内有一个正根连续故在)2,0()(x f
(2)
收敛
313
2)2,0(3
2
3
2.13,12
.11)(max ,)2.13()(,2.13+=∴<≤
''+=''+=+∈-n n x x x x x x x x φφ(3)3
32
.13,33)(2
31
2
----=-='+n n n n x x x x x x x f 5、用二分法求方程3
()1f x x x =--在区间[1,1.5]内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。
解：6次；*
1.32x ≈。
6．为求方程010 1.5x x x --==在 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。
4） 2
1
1,x x =+迭代公式2111;k k
x x +=+
5） 1,x x =+迭代公式
1k x +=
6） 2
1
,1
x x =
-
1=
试分析每种迭代公式的收敛性。
解： 1.4 1.41 1.5 1.510.1250--=--=>Q ∴为有根区间。
2'33122
1)11/()0.7311.4
k x x x x x ϕϕ+=+=-
≤≈<∴=迭代公式
2
2
32
'
233112 1.5
2)1(()12/(1 1.0)0.631
33k x x
x x x x ϕϕ+⨯=+=+⨯≤+≈<∴=－（）迭代公式3
32
2'2
11
1(1.51)
3)(()(1)
1.41
12
2
k x x x x x ϕϕ--+-=
=--≥
≈>-∴=
迭代公式
7、已知x x ϕ=内只有一根，而当<<时，'()1,x k ϕ≥>试问如
何将x x ϕ=
将=化为适于迭代的形式，并求x =
（弧度）附近的根。
1'''1''11111
(())()1
() (()) 1.
()
(()
()(0,1,) k k k k
x x x x x x x x x x k x arctgx
x arctgx ϕϕϕϕϕϕϕϕππ--++=
=<=⇒
====+⇒
=+L －－解：由反函数微分法则有 故当将则迭代法是收敛的。
对 用搜索法知在(5)0 4.45 4.49341x x ==内有根，取迭代，。
8、能不能用迭代法求解下列方程，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式。
（1）x x x
=
+ （2）x
x =-
解: (1) x x x
ϕ=
+对所有的x 有
'sin cos 21
()1
442x x x ϕ-+=
≤=<
故能用迭代法求根。
（2）方程为x
x -+=
设x
f x x =-+则f
f <>
故有根区间为
［1，2］。
由'()42,()2ln 22ln 2 1.368291,x x
x x ϕϕ=-=->≈>故不能用42k x k x +
=-来迭
代。
将原方程改写为x x
=
-此时，x x
ϕ=
-
'11111
()14ln 242ln 22ln 2x x ϕ-=
⋅<⋅=<--，
故可用迭代公式
1ln(4)
ln 2k k x x +-=
来求解。
9．用牛顿(切线)法求3的近似值。
取x 0=1.7, 计算三次，保留五位小数。
解：3是
03)(2
=-=x x f 的正根，x x f 2)(='，牛顿迭代公式为 n n n n x x x x 232
1
--=+， 即
),2,1,0(2321
Λ=+=+n x x x n n n
取x 0=1.7, 列表如下：
10．给定方程01e )1()(=--=x
x x f
1) 分析该方程存在几个根；
2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字； 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。
解：1）将方程 01e )1(=--x
x （1）
改写为
x
x -=-e 1 （2）
作函数1)(1-=x x f ，x
x f -=e )(2的图形（略）知（2）有唯一根)2,1(*∈x 。
2) 将方程（2）改写为 x
x -+=e 1
构造迭代格式 ⎩⎨⎧=+=-+5
.1e 10
1x x k
x k
),2,1,0(Λ=k
计算结果列表如下：
3) x x -+=e 1)(ϕ，x
x --='e )(ϕ
当]2,1[∈x 时，]2,1[)]1(),2([)(⊂∈ϕϕϕx ，且
1e |)(|1<≤'-x ϕ
所以迭代格式 ),2,1,0()(1Λ==+k x x k k ϕ对任意]2,1[0∈x 均收敛。
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。