2016专项练习题集-中心投影及中心投影作图法一、选择题1、下列几种关于投影的说法正确的个数是（）（1）．平行投影的投影线是互相平行的。
（2）．中心投影的投影线是互相垂直。
（3）．平行于投射面的线段上的点在中心投影下仍然在线段上。
（4）．平行于投射面的平行的直线在中心投影中不平行（5）.平行四边形在中心投影下一定是平行四边形或者线段。
A.1B.2C. 3D.4【分值】5【答案】C【易错点】第5个命题容易出错。
【考查方向】本题考察了投影的概念和原则。
属于概念辨析题。
【解题思路】利用投影的概念可以判断出命题真假。
【解析】平行投影的投影线互相平行,而中心投影的投影线相交于一点；所以命题1,3，4是正确的，5个不是平行四边形。
2不一定垂直。
2、某一个长方体AC，在三视图中，这对角线AC的投影是长分别为7、6和5的线段，那么该长方体的体积的最大值为( )A．3B．3 3C ．4D ．5 5【分值】5 【答案】B【易错点】容易选择答案A ，【考查方向】本题考察了投影的概念，在三个平面的投影可以形成一个长方形对角线。
和均值不等式的知识。
【解题思路】可以利用在三个平面的投影可以形成一个长方形对角线。
【解析】 结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算．如图，设长方体的长，宽，高分别为a ，b ，c ，由题意得a 2＋c 2＝7，b 2＋c 2＝6，a 2＋b 2＝ 5⇒a 2＋b 2＋c 2＝9，所以对角线的长为a 2＋b 2＋c 2＝3.∴()333932222≤=∴≥++==abc V abc c b a abcV3、一个几何体以及主视图和左视图如图所示，其中,ABCD SC 平面底面是正方形，⊥所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．34C ．23D ．13【分值】5【答案】C【易错点】容易出现将俯视图底面看成是边长为2的正方形，于是选择D。
【考查方向】本题考察了几何体三视图的概念，和正投影的概念。
【解题思路】根据立体图形还原几何体的位置，确定四棱锥的底面积和高即可，【解析】根据几何体的特点可以画出三视图，于是底面边长为2，底面积为2，体积为23。
5的线段，它在长方体的相邻的三个面内的投影长为5和4、一个长方体内有一条长为234，则其在相邻的平面内的正投影长为（）A．5B．34C．6D．41【分值】5【答案】D【易错点】容易选择答案A,混淆概念。
【考查方向】本题考察了投影的概念，在两两垂直的平面内的正投影相当于三个面对角线。
【解题思路】利用在两两垂直的平面内的正投影相当于三个面对角线的特点，可以很容易得到三边关系。
【解析】设长方体的长宽高分别为()414125-34-100,25,3425,,222222222222===∴=+=+=+++=∴x x x c a c b b a c b a c b a ，所以 5、已知四面体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标分别为：()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,1,2D ，用1S ，2S ，3S 分别表示该四面体在xO y ，yO z ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则1S ，2S ，3S 的关系是（ ）A.123S S S ==B.12S S =3S >C.13S S = 2S >D.123S S S >= 【分值】5 【答案】D【易错点】容易选择A 答案。
错误原因是在各个面的投影找不到正确的形状。
【考查方向】本题考察了正投影的概念，也就是正投影的几何性质。
【解题思路】通过正投影找到在各个坐标平面的坐标，然后通过面积公式计算可得。
【解析】根据坐标()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,1,2D ，说明三棱锥D A B C-顶点为D ，底面ABC 为等腰直角三角形，2==BC AB 且BC AB ⊥，定点D 在底面的投影1D 恰好是斜边BC 的中点，21=DD ，三棱锥DA B C -在平面xO y 的正投影就是ABC ∆，面积222211=⨯⋅=S ，三棱锥D A B C -在平面yoz 的正投影等腰三角形底边为2，高为2，面积222212=⋅⋅=S ，三棱锥D A B C-在平面xoz 的正投影等腰三角形底边为2，高为2，面积222213=⋅⋅=S ，则,32S S =且 13S S ≠ 二、填空题6、一个几何体在平面ABC 内的正投影是一个正方形，那么这个几何体可能是 。
① 正方体 ② 正棱锥 ③ 圆柱 ④ 圆锥 【分值】3 【答案】1、2、3【考查方向】本题考察了正投影的概念以及空间想象力，和柱体和锥体的几何性质。
【易错点】只选择1，其他情况没有想出来。
【解题思路】利用正投影的性质，将各个几何体的三视图想出来既可以。
【解析】只有圆锥的三视图中没有正方形的可能。
其他情况都有可能出现正方形。
故添1、2、3.7、已知四面体ABCD ，则四面体在平面α上的正投影的最大面积和该四面体的表面积之比是( )A.3B.33 C ．2 3D.36【分值】3 【答案】23【易错点】找不到最大的位置，最大的位置是相互垂直并且垂直的两条棱平行底面。
【考查方向】本题考察了几何体在平面的正投影的概念和空间想象力。
【解题思路】根据正投影的概念，结合图形知四面体在底面上的最大的位置是相互垂直并且垂直的两条棱平行底面，所以正投影就是正方形，且对角线长就是棱长。
【解析】根据正投影的概念，结合图形知四面体在底面上的最大的正投影就是正方形A ’B ’C ’D ’，且对角线长就是棱长。
可以设该正方体的棱长为1，则这个投影的面积就是1，四面体的四个面都是边长为2的正三角形，故其表面积是4×34×(2)2＝23，故所求的比值为1∶23＝36.正确选项D.8、棱长为1的正方体AC 1的.,11F E BB DD 上的点，一束平行光线沿着C 1C 方向将四边形AEC 1E 和三角形AB 1D 1正投射到平面ABCD 上,两个多边形的正投影重合部分的面积为（ ）。
【分值】3【答案】21【考查方向】本题考察了正投影的基本性质和空间想象力，是高考的常考题型。
【易错点】容易出现投影错位问题。
【解题思路】利用正投影的性质、在平面内的投影是向平面作垂线。
于是得到的两个投影的重叠部分是三角形ABD 。
【解析】根据正投影的性质、在平面内的投影是向平面作垂线。
于是三角形AB 1D 1的投影是三角形ABD ，空间四边形AFC 1E 的投影是ABCD,所以得到的两个投影的重叠部分是三角形ABD 。
面积为21。
三、综合题9、某四棱锥的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，1、求证:CE AB ； 2，求该四棱锥的体积。
FECBADD 1C 1B 1A 1【分值】6【答案】（1略）（2）23.【易错点】不能还原几何体的量的关系，找不到垂直关系。
【考查方向】本题考察了三视图和原几何体的关系，“长对正，高平齐，宽相等”的几何特点。
【解题思路】根据三视图还原几何图形可以得到线面关系，属于常考题。
【解析】由三视图知，该几何体为四棱锥，如图所示．依题意AB ＝23，菱形BCDE 中BE ＝EC ＝2.所以：.,,,AB CE ABD CE OBD AO AOCE BCDE AO CE BD ⊥⊥∴=⋂⊥∴⊥⊥平面平面(2)由（1）；BO ＝22－12＝3，则AO ＝AB 2－BO 2＝3，因此V A —BCDE ＝13·AO ·S 四边形BCDE ＝13×3×2×232＝23.10、已知一个棱长为1的正四面体，在水平投射面的投影的最小面积。
【分值】6 【答案】42。
【易错点】容易将四边形的投影当做正方形处理，得到的是最大值。
【考查方向】本题考察了空间想象力和投影的性质，以及距离的公式。
【解题思路】通过投影的性质，得到的投影就是各个顶点向平面作垂线。
即可得到最小时候的三角形。
【解析】依题意可得：当投影面积最小时，得到的是BC 垂直平面，且AD 平行于平面，所以得到的三角形C B A ''',在正四面体中,AB=1，222123,,,,2322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⊥⊥∴==EF CD AB EF AB EF CD EF CD F DE CE 的公垂线，所以是同理中点，是因此三角形C B A '''的高是22，底边为1，面积为42。