关于实数连续性的基本定理关键词：实数基本定理 确界定理 单调有界原理 区间套定理 有限覆盖定理 紧致性定理 柯西收敛定理 等价证明以上的定理表述如下：实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都∃唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。
确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。
单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。
区间套定理:设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含在所有的区间里,即∞=∈1],[n n n b a r 。
有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。
紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。
柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是：εε<->>∃>∀||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。
这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。
那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。
（二）实数基本定理的等价证明一．用实数基本定理证明其它定理 1．实数基本定理→单调有界定理证明：设数列}{n x 单调上升有上界。
令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ∀≤,},而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。
事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。
又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0n ，使a <0n x ≤b ，即A 、B 不乱。
故A|B 是实数的一个分划。
根据实数基本定理，A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r aB ，b ≤≤∈有。
下证∞→n limnx =r 。
事实上，对nN n n x x r ，N n ，x ，x r N ，A ，r ≤-∴-∃∈->∀ εεεε有时当单调上升又使知由于}{,0。
2,2εε-≤∈+r x b r n 便有 ，2εε+≤-∴r x r ，N n n 有时当于是，|nx -r|<ε，∴∞→n lim n x=r 。
若数列}{n x 单调下降有下界，令ny =-nx ，则{ny }单调上升有上界，从而有极限，设极限为r ，则∞→n lim n x =∞→n lim（-n y ）=-r 。
定理证完。
2.实数基本定理→确界定理证明：设X 是有上界的非空实数集，记B 为X 的全体上界组成的集合。
A= R ﹨B ，则A|B 构成实数的一个分划。
事实上，不空，不漏显然。
而A ，a ∈∀对B ，b ∈由a 不是X 的上界，知有0x ∈X ，使得0x a ，而由B ，b ∈知0x≤b ，故a < b 。
由实数基本定理， A|B是实数的一个分划，∴A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。
下证r=supX 。
首先证明r 是X 的上界。
用反证法。
如果不然，则有0x ∈X ，使得0xr ，这时有a=20rx +a=20rx +∈A ，且有a r ，这是不可能的。
因此r 是X 的上界，而由于b r B ，b ≤∈∀有，∴r 是X 的最小上界。
同理可证下确界的情形。
定理证完。
3．实数基本定理→区间套定理 证明：设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套，令},|{n a x n x A ≤∃=，A R B \=，则B A |是R的一个分划。
事实上A a ∈1，B b ∈+11，即B A ,非空；由B 的定义，B A ,不漏；A a ∈∀，B b ∈∀，则∃，n a b n >∀,，故b a <，即B A ,不乱。
故B A |确是R的一个分划。
由实数连续性定理，存在唯一的实数r ，使得A a ∈∀，B b ∈∀，有b r a ≤≤。
下证∞=∈1],[n n n b a r 。
因为n ∀，由A 的定义，A a n ∈，故r a n ≤。
又m n ,∀，有n m b a <，则B b n ∈，从而n b r ≤。
即∞=∈1],[n n n b a r 。
最后证明唯一性。
若有r r ',满足∞=∈1],[n n n b a r ，∞=∈'1],[n n n b a r ，则)(0||∞→→-≤'-n a b r r n n故r r '=。
即这样的r 是唯一的。
定理证完。
二．用单调有界定理证明其它定理单调有界定理→实数基本定理证明：给定实数的一个分划，任取A a ∈1，B b ∈1。
用1a ，1b 的中点211b a +二等分[1a ，1b ]，如果211b a +B ∈，则取2a =1a ， 2b =211b a +；如果211b a +A ∈，则取2a =211b a +，2b =1b ；……如此继续下去，便得两串序列}{n a }{n b 。
其中A a n ∈单调上升有上界（例如1b ），B b n ∈单调下降有下界（例如1a ）并且n n a b -=211a b -)(∞→n 。
由单调有界定理，知∃r ，使∞→n limn a = r∞→n lim（n n a b -）=0 ∴∞→n lim na+（n n a b -）= r∀ a ∈A ，有a <n b （n=1，2，……），令∞→n ，知a <rB b ∈∀，有na <b （n=1，2，……）， 令∞→n ，知 r <b∴b r a ≤≤下面证明唯一性。
用反证法。
如果不然。
则∃ 21r r ≠，同时对任意 A a ∈，1r a ≤，2r a ≤对任意b 有1r b ≥ 2r b ≥，不妨设21r r <，令 221'r r r +=显然 2'1r r r << ⇒ A r ∈'，B r ∈'，这与B A |是R 的一个分划矛盾。
唯一性得证。
定理证完。
2．单调有界定理→确界定理证明：已知实数集A 非空。
∃A a ∈，不妨设a 不是A 的上界，另外，知∃b是A 的上界，记1a =a ，1b =b ，用1a ，1b 的中点211b a +二等分[1a ，1b ]，如果211b a +B ∈，则取2a =1a ，2b =211b a +；如果211b a +A ∈，则取2a =211b a +，2b =1b ；……如此继续下去，便得两串序列}{n a }{n b 。
其中A a n ∈单调上升有上界（例如1b ），B b n ∈单调下降有下界（例如1a ）并且n n a b -=211a b -)(∞→n 。
由单调有界定理，知∃r ，使∞→n limna =r 。
由∞→n lim（n n a b -）=0 有∞→n lim na+（n n a b -）= r}{n b 是A 的上界，∴A x ∈∀，有≤x n b （n=1，2，……），令∞→n ，≤x ∞→n limn b = r ∴ r 是A 的上界。
而,0>∀ε 由∞→n limn a = r 知，a r N ，n N ，n εε-∃>∀有当知,0从而X ，a r A ，X n ε-∈∃使 ∴r=supA 。
同理可证非空有下界数集有下确界。
定理证完。
3．单调有界定理→区间套定理证明：已知n a ≤1+n a （∀n ）， n a ≤n b ≤1b ，∴由单调有界定理知{n a }存在极限，设∞→n limn a = r ，同理可知{n b }存在极限，设∞→n lim n b=r '，由∞→n lim（n n a b -）=0得r r '-=0即r r '=∀n ，有n a ≤n b ，令∞→n ，有n a ≤r r '=≤n b ，∴∀n ，有n a ≤r ≤n b 。
唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明（即一.3）。
定理证完。
三．用确界定理证明其它定理确界定理→实数基本定理证明：对给定R 的一个分划A|B ，由于B b ∈∀，b 是集合A 的上界，由确界定理可得，集合A 有上确界r ，即r a A a ≤∈∀有。
r 是集合A 的上确界，∴r 是集合A 的全体上界的最小数。
B b ∈∀，有r b ≤。
唯一性同用单调有界定理对实数基本定理的证明（即二。
1）。
定理证完。
确界定理→单调有界定理证明：设}{n x 是单调上升有上界的实数列。
由确界定理可得，∃r ，使r=sup }{n x 。
rx n n ≤∀∴有,，并且εε-∃∀r x ，x ，N N 有0r x x r N n n N ≤≤≤-∀∴ε有, ，即ε||r x n-∴∞→n limnx = r 。
单调下降有下界情况的证明同用实数基本定理对此定理的证明（即一.1）。
定理证完。
确界定理→区间套定理证明：由[1+n a ，1+n b ] ⊂[n a ，n b ]，知}{n a 是单调上升有上界的实数列，}{n b 是单调下降有下界的数列。
且1b 是n a 的上界，1a 是n b 的下界。
设∞→n lim na= r ，∞→n lim n b=r '，由确界定理对的证明知r=sup }{n a ，r '=inf }{n b 。
由∞→n lim（n n a b -）=0得r r '-=0即r r '== sup }{n a =inf }{n b∴∀n ，有n a ≤r ≤n b 。
唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明（即一.3）。
定理证完。
确界定理→有限覆盖定理证明：设E 是闭区间[b a ，]的一个覆盖。
定义数集A={a x ≥|区间[x a ，]在E 中存在有限子覆盖}从区间的左端点a x =开始.由于在E 中有一个开区间覆盖a ,因此a 及其右侧充分邻近的点均在A 中.这就保证了数集A 是非空的.从数集A 的定义可见,若∈x A,则整个区间[x a ，]⊂A.∴若A 无上界,则b ∈A,那么[b a ，]在E 中存在有限子覆盖. 若A 有上界, 由确界定理可得∃r,使r=supA 。
∴r x ∀，都有∈x A 。
事实上，,0)( x r -∀,y ∃使得x x r r y =--)( 。
[y a ，]在E 中存在有限子覆盖，∴[x a ，]⊂[y a ，]在E 中存在有限子覆盖下证b <r 。
用反证法。
如果不然，r ≤b ，则r ∈[b a ，]。
因此，在E 中存在有一开区间覆盖αE覆盖r 。
0a ∃，0b ∈αE ，使0a 0b r 。