杭十四中二〇一三学年第二学期中测试高一年级数学学科试卷注意事项：1．考试时间：2014年4月22日8时至9时30分；2．答题前，务必先在答题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号；3．将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出 答题区域书写的答案无效；4．其中本卷满分100分，附加题20分，共120分．共4页； 5．本试卷不得使用计算器。

一、选择题：共10小题，每小题3分，满分30分。

1．函数()sin cos f x x x =的最小值是(▲)A ．1 B.－1 C ．12 D ．－122．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且 41016a a =，则6a =(▲)A ．1B ．2C ．4D ．8 3．函数()cos()cos()44f x x x ππ=+--是(▲)A ．周期为π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为2π的奇函数4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且244,20S S ==,则该数列的公差d =(▲) A ．2 B.3 C ．6 D ．75．已知3(,),sin 25παπα∈=,则tan()4πα-=(▲)A ．7-B ．17-C ．7D ．176．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等比数列, 且2c a =, 则cos B =(▲)A ．34BCD ．147．在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是(▲)A ．(0,]6πB ．[,)6ππC ．(0,]3πD ．[,)3ππ8．已知函数()2cos 2f x x x m =+-在[0,]2π上有两个零点,则m 的取值范围是(▲)A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[l,2]9．在ABC ∆中，已知tan tan 1A B ⋅>，则ABC ∆是(▲) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．最小内角大于45°的三角形10．在数列{}n a 中，若对任意的*n N ∈均有12n n n a a a ++++为定值，且79982,3,4a a a ===，则数列{}n a 的前100项的和100S =(▲)A．132 B．299 C．68 D．99二、填空题：共7小题，每小题4分，满分28分。

11．sin75cos30sin15sin150︒︒-︒︒=▲．12．若数列{}n a的前n项和23nS n n=+，则678a a a++=▲．13．函数2cos2siny x x=+,Rx∈的值域是▲．14．在ABC∆中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若2cosa b C=，则此三角形一定是▲三角形．15．设当xθ=时，函数()sin2cosf x x x=-取得最大值，则cosθ=▲．16．在ABC∆中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，给出下列命题：①若a b c>>，则cos cos cosA B C>>；②若A B C>>，则sin sin sinA B C>>；③若40,20,25a b B===︒，则ABC∆有两解；④必存在A、B、C，使tan tan tan tan tan tanA B C A B C<++成立.其中，正确命题的编号为▲．（写出所有正确命题的编号）17．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120︒；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120︒；依此规律得到n级分形图.(I) n级分形图中共有▲条线段；(II) n级分形图中所有线段长度之和为▲．三、解答题：共4小题，满分42分。

18．(本小题满分10分)等差数列{}n a中，74a=，1992a a=.(1) 求{}n a的通项公式；(2) 设1nnbna=，求数列{}n b的前n项和n S.19．（本小题满分10分）已知函数2π()cos12f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭,1()1sin22g x x=+.(1)设x是函数()y f x=的一个零点,求()g x的值；(2)求函数()()()h x f x g x=+的单调递增区间.20．（本小题满分10分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足sin sin sin sin a c A Bb A C+-=-. (1)求角C ； (2)求a bc+的取值范围.21．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，13n S +是6与2n S 的等差中项（*n N ∈）. (1) 求数列{}n a 的通项公式；(2)是否存在正整数k ，使不等式2*(1)()n n n k a S n N -<∈恒成立，若存在，求出k 的最大值；若不存在，请说明理由.四、附加题：本大题共2小题，共20分。

22．(本小题满分10分)(1) (本小题满分5分)已知数列:1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律,这个数列的第2014项2014a =__________. (2) (本小题满分5分)tan 20sin 204︒+=o _________.23．(本小题满分10分)数列{}n a 满足112a =,112n na a +=-(*)n N ∈. (1)求证:1{}1n a -为等差数列，并求出{}n a 的通项公式； (2)设11n nb a =-,数列{}n b 的前n 项和为n B ,对任意2n ≥都有320n n m B B ->成立， 求整数m 的最大值.杭十四中二〇一三学年第二学期中测试高一年级数学参考答案注意事项：1．考试时间：2014年4月22日8时至9时30分；2．答题前，务必先在答题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号；3．将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；4．其中本卷满分100分，附加题20分，共120分．共4页； 5．本试卷不得使用计算器。

一、选择题：共10小题，每小题3分，满分30分。

1．函数()sin cos f x x x =的最小值是( )A ．1 B.－1 C ．12 D ．－12答案：D2.公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且 41016a a =，则6a =( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案：B3.函数()cos()cos()44f x x x ππ=+--是( )A ．周期为π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为2π的奇函数 答案：D4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且244,20S S ==,则该数列的公差d =( ) A ．2 B.3 C ．6 D ．7 答案：B5．已知3(,),sin 25παπα∈=,则tan()4πα-=( ) A ．7-B ．17- C ．7D ．17答案：A6．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等比数列,且2c a =,则cos B =( )A ．34BCD ．14 答案：A7.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是( )A ．(0,]6πB ．[,)6ππC ．(0,]3πD ．[,)3ππ答案：C8．已知函数()2cos 2f x x x m =+-在[0,]2π上有两个零点,则m 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2] D ．[l,2] 答案：B9. 在ABC ∆中，已知tan tan 1A B ⋅>，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．最小内角大于45°的三角形 答案：C10. 在数列{}n a 中，若对任意的*n N ∈均有12n n n a a a ++++为定值，且79982,3,4a a a ===，则数列{}n a 的前100项的和100S =( )A ．132B ．299C ．68D ．99答案：B二、填空题：共7小题，每小题4分，满分28分。

11. sin 75cos30sin15sin150︒︒-︒︒=__________． 答案：2212. 若数列{}n a 的前n 项和23n S n n =+，则678a a a ++=________． 答案：4823．函数2cos 2sin y x x =+,R x ∈的值域是_________.答案：]1,0[14. 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若2cos a b C =，则此三角形一定是________三角形． 答案：等腰15. 设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=________．答案：255-16．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，给出下列命题：①若a b c >>，则cos cos cos A B C >>； ②若A B C >>，则sin sin sin A B C >>；③若40,20,25a b B ===︒，则ABC ∆有两解；④必存在A 、B 、C ，使tan tan tan tan tan tan A B C A B C <++成立.其中，正确命题的编号为 .（写出所有正确命题的编号） 答案：②③17．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120︒；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120︒；依此规律得到n 级分形图.(I) n 级分形图中共有_______条线段；(II) n 级分形图中所有线段长度之和为___________.答案：(Ⅰ)323n ⋅- (Ⅱ)299()3n -⋅三、解答题：共4小题，满分42分。

18．(本小题满分10分)等差数列{}n a 中，74a =，1992a a =. (1) 求{}n a 的通项公式；………………5′(2) 设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d.因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝4，a 19＝2a 9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2（a 1＋8d ）. ………………2′解得a 1＝1，d ＝12. ………………2′所以{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12. ………………1′(2) b n ＝1na n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1， ………………3′所以S n ＝⎝⎛⎭⎫21－22＋⎝⎛⎭⎫22－23＋…＋(2n －2n ＋1)＝2n n ＋1. ………………2′ 19．（本小题满分10分）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,1()1sin 22g x x =+.(1)设0x 是函数()y f x =的一个零点,求0()g x 的值； (2)求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间.【答案】1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ………………3′ 当πππ2π22π232k x k -++≤≤,即5ππππ1212k x k -+≤≤(k ∈Z )时, 函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数, 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，(k ∈Z ) ………………2′20．（本小题满分10分）在ABC ∆中,角角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足sin sin sin sin a c A Bb A C+-=-. (1)求角C ；(2)求a bc+的取值范围. 解:(1)C A B A b c a sin sin sin sin --=+ca ba --=,化简得222c ab b a =-+, ………………2′ 所以212cos 222=-+=ab c b a C , ………………2′3π=C ………………1′ (2)C B A c b a sin sin sin +=+)]32sin([sin 32A A -+=π)6sin(2π+=A ………………2′因为)32,0(π∈A ,)65,6(6πππ∈+A , ………………2′ 所以]1,21()6sin(∈+πA . 故,cba +的取值范围是]2,1( ………………1′ 21．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，13n S +是6与2n S 的等差中项（*n N ∈）. (1) 求数列{}n a 的通项公式；(2)是否存在正整数k ，使不等式2*(1)()n n n k a S n N -<∈恒成立，若存在，求出k 的最大值；若不存在，请说明理由.（1）解法一：因为13n S +是6与2n S 的等差中项，所以1626n n S S ++=（*N n ∈），即1311+=+n n S S ，（*N n ∈） 当2n ≥时有1113n n S S -=+ ………………2′ 得111()3n n n n S S S S +--=-，即113n n a a +=对2n ≥都成立 ………………2′又21113S S =+即121113a a a +=+，所以211133a a ==所以)(31*1N n a n n ∈=-. ………………2′解法二： 因为13n S +是6与2n S 的等差中项， 所以1626n n S S ++=（*N n ∈），即1311+=+n n S S ，（*N n ∈） 由此得)23(31213123)131(231-=-=-+=-+n n n n S S S S （*N n ∈），又21232311-=-=-a S ，所以 3123231=--+n n S S （*N n ∈）， 所以数列}23{-n S 是以21-为首项，31为公比的等比数列. ………………3′ 得1)31(2123-⨯-=-n n S ，即1)31(2123--=n n S （*N n ∈），所以，当2≥n 时，121131])31(2123[])31(2123[----=---=-=n n n n n n S S a ，又1=n 时，11=a 也适合上式， 所以)(31*1N n a n n ∈=-. ………………3′（2）原问题等价于()()21111113323n n nk --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（*N n ∈）恒成立. ………………1′ 当n 为奇数时，对任意正整数k 不等式恒成立； ………………1′当n 为偶数时，等价于()2111123033n n k --⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，令113n t -⎛⎫= ⎪⎝⎭，103t <<，则等价于2230kt t +-<恒成立， ………………2′因为k 为正整数，故只须21123033k ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，解得012k <<，*k N ∈，所以存在符合要求的正整数k ，且其最大值为11. ………………2′四、附加题：本大题共2小题，共20分。