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9.4

梁的弯曲变形与刚度
2.
挠度和转角
(1) 挠度 是指梁轴线上的一点在垂直于轴线方向上的位移， 通常用y表示。

一般规定向上的挠度为正，向上的挠度为负。它的单位是mm。 (2) 转角 是指梁的各截面相对原来位置转过的角度，用θ 表
示。

一般规定，逆时针方向的转角为正，顺时针的转角为负。它 的单位是弧度(rad)或度(º)。
远的边缘处。其计算公式为
max

(2) 梁的正应力强度条件为
M max y max M max Iz Wz
M max ≤[σ ] Wz
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max
小

结

max
* FQ S z
(3) 梁横截面上的切应力与切应力强度条件 对矩形截面梁，横截面上的切应力计算公式为 其最大切应力在截面的中性轴上，计算公式为 梁的切应力强度条件为τ max≤[τ ]
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9.2


梁弯曲时正应力强度计算
梁弯曲时正应力强度计算
9.2
为了保证梁在载荷作用下能够正常工作，必须使梁具备足够 的强度。也就是说，梁的最大正应力值不得超过梁材料在单 向受力状态(轴向拉、压情况)下的许用应力值[σ ]，即 M max max ≤[σ ] （9.10） Wz 式(9.10)就是梁弯曲时的正应力强度条件。需要指出的是， 式(9.10)只适用于许用拉应力[σ l]和许用压应力[σ y]相等 的材料。如果两者不相等(例如铸铁等脆性材料)，为保证梁 的受拉部分和受压部分都能正常工作，应该按拉伸式
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My Iz
(9.4)
9.1
9.1.4

梁弯曲时横截面上的正应力
常用截面的惯性矩的计算
y 2 dA
即可导出梁的截面为各种形状时的Iz的计算公
为了应用公式（9.4），必须解决惯性矩Iz的计算问题。根据
式。
Iz=
1.
A

因此，提高梁的强度和刚度可从以下几方面入手。


9.5.1 合理安排梁的支承及增加约束
当梁的尺寸和截面形状已定时，合理安排梁的支承或增加约束， 可以缩小梁的跨度、降低梁上的最大弯矩。

增加约束，缩短梁的跨度，对提高梁的刚度极为有效。
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9.5


提高梁的强度和刚度的措施
选择合理的截面形状
9.5.2
9.1

梁弯曲时横截面上的正应力
Iz = Wz y max
相应地，抗弯截面系数为
bh 6
2
(9.7b)

2.
圆形截面的惯性矩Iz
下面我们直接给出圆形截面的和圆环形截对中性轴的


惯性矩Iz计算公式：
(1) 圆形截面(图9-5)的惯性矩
Iz
d 4
64
(9.8a) 上一页 下一页 返回
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9.1


梁弯曲时横截面上的正应力
正应力分布规律
9.1.2
律：
根据平面假设可得出矩形截面梁在纯弯曲时的正应力分布规

(1) 中性轴上的线应变为零，所以其正应力亦为零。 (2) 距中性轴距离相等的各点，其线应变相等，根据胡克定 律，它们的正应力也相等。

(3) 横截面上的正应力沿横截面y轴线性分布，即σ =Ky，或 K=，K为待定常数，如图9-2所示。
9.1

梁弯曲时横截面上的正应力
Wz
其抗弯截面系数为
d 3
32
(9.8b)
(2) 圆环形截面(图9-6)的惯性矩
Iz

64
(D 4 d 4 )
D 4
64
(1 4 )
(9.8a)
其抗弯截面系数为
Wz
D 3
32
(1 4 )
(9.8b) 上一页 下一页 返回
9.1

(6) 梁的弯曲的刚度条件为
ymax≤[y]；θ max≤[θ ]

(7) 为提高梁的强度和刚度，可从合理安排梁的支承、合理 布置梁的载荷、选用合理的截面等几个主要方面入手，根据 实际情况确定合适的方法。
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图 9-1
F
a F F a
＋
B
A C D
―
F
(a)
Fa
(b)
＋
(c) 返回
图 9-2
SZ*——距中性轴为y的横线外侧部分的面积A*对中性轴z的静
矩；

Iz——横截面对中性轴z的惯性矩；

b——矩形截面的宽度。
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9.3
弯曲切应力简介
9.3.2 典型截面梁的最大切应力计算
常见典型截面梁如工字形、圆形截面梁、圆环形截面梁，最大切应
力发生在中性轴上， 如图9-8所示，其值分别为 F
矩形截面的惯性矩Iz
图9-4矩形截面，其高度为h，宽度为b，通过形心O的轴为z和
y。为了计算该截面对z轴的惯性矩Iz，可取平行于z轴的狭长 条为微面积，即dA=bdy，这样矩形截面对z轴的惯性矩即为

Iz=

3 bh y 2 dA by 2 dy A h / 2 12

h/2
(9.7a)
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9.1


梁弯曲时横截面上的正应力
弯曲正应力的计算
9.1.3
在纯弯曲梁的横截面上任取一微面积dA(图9-3)，微面积上的
微内力为σ dA。由于横截面上的内力只有弯矩M，所以由横截
面上的微内力构成的合力必为零，而梁横截面上的微内力对 中性轴z的合力矩就是弯矩M，即 FN= dA 0
梁的切应力强度条件为

τ max≤[τ ]
(9.18)
式（9.18）中，[τ ]为梁所用材料的许用切应力。
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9.4


梁的弯曲变形与刚度
9.4.1
1.
梁的弯曲变形概述
梁的变形必须限制在一定范围内，即梁应满足刚度要求。


挠曲线方程
梁在发生弯曲变形时，若其最大工作应力不超过材料的弹性 极限，梁的轴线由原来的直线被弯成一条光滑的曲线AB´，变 形后的梁轴线称为挠曲线（图9-9）。当梁发生平面弯曲时， 梁的挠曲线可用方程y = f (x) 来表示。称为梁的挠曲线方 程 。

梁弯曲时横截面上的正应力
3.
组合截面的惯性矩Iz
设有一平面图形，通过形心C点的轴线zC与相互平行的z轴的距离 为d，若图形面积为A，对于zC轴的惯性矩为IzC，则此图形对于z 轴的惯性矩
Iz=IzC+Ad2

(9.9)
即截面对任一轴z的惯性矩，等于它对平行于该轴的形心轴zC的
惯性矩，加上截面面积与两平行轴距离平方之积。式(9.9)称为 惯性矩的平行移轴公式。
I zb
3 FQ 2 A

(4) 弯矩引起的最大正应力是判断梁是否安全的主要依据。故通常
采用梁的正应力进行梁的强度计算，必要时再进行切应力强度校核。
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小

结
(5) 梁的变形用挠度y和转角θ 来度量。简单载荷作用下梁的
挠曲线方程，端截面的转角和最大挠度可查表9.1。由于梁的
变形和载荷成线性关系，故工程上常用叠加法来求复杂载荷 下梁的变形。
(9.19a) (9.19b)
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9.5

提高梁的强度和刚度的措施
提高梁的强度和刚度，就是在材料消耗最低的前提下，提高梁的
承载能力，满足既安全又经济的要求。梁上的最大弯曲正应力
σ max和梁上的最大弯矩Mmax成正比，和抗弯截面系数Wz成反比； 梁的变形和梁的跨度l的高次方成正比，和梁的抗弯刚度EI成反比。

此外，在结构允许条件下，应尽可能把集中力改变为分散的 力。
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小

结
My Iz
(1) 平面弯曲时，梁横截面上的正应力的大小沿横截面的高度呈 现线性变化，其计算公式为

中性轴上正应力为零，离中性轴最远的边缘上各点的正应力绝对 值最大。梁的最大正应力发生在弯矩最大的截面上且离中性轴最
yc
x
n1 B´
n
l
返回
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9.4


梁的弯曲变形与刚度
用叠加法求梁的变形
9.4.2
当梁上同时受到几个载荷作用时，每一载荷所引起的梁的变 形不受其它载荷的影响。于是，就可以用叠加法来计算梁的
变形：即先求出各个载荷单独作用下梁的挠度和转角，然后
将它们代数相加，得到几个载荷同时作用时梁的挠度与转角。
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9.4


梁的弯曲变形与刚度
9.4.3
梁的刚度条件
计算梁的变形，主要目的在于进行刚度计算。所谓梁要满足
刚度要求，就是指梁在外力作用下，应保证最大挠度小于许
用挠度，最大转角小于许用转角，即梁的刚度条件为

ymax≤[ y ]
θ max≤[θ ] [ y ]为梁的许用挠度，[θ ]为的许用转角。

（1）横截面上各点的剪应力方向与剪力FQ方向相同。 （2）切应力沿截面宽度均匀分布，距中性轴等距离的各点切应 力数值都相等。据此可以推导出矩形截面梁横截面上距中性轴 为y处的切应力计算公式为：
* FQ S z


(9.12)
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I zb
9.3

弯曲切应力简介
式中：FQ——横截面上的剪力；