南京市2021届高三年级学情调研数学参考答案 2020.09一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．B 3．D 4．A 5．A 6．C 7．C 8．B二、多项选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分．9．ABD 10．ACD 11．ABC12．AC三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．214． 64315．4；22016．(-∞，-1]四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本小题满分10分)解：因为 m =(2cos x ，-1)，n =(3sin x ，2cos 2x )，所以f (x )=m ·n +1=23sin x cos x -2cos 2x +1= 3sin2x -cos2x =2sin (2x - π6)． ……………………… 4分(1)T = 2π2=π． ……………………… 5分(2)由f (α)= 85，得sin (2α- π6)= 45．由α∈[ π3， 7π12]，得 π2≤2α- π6≤π，所以cos (2α- π6)=- π6=- 45=- 35，……………… 7分从而 cos2α=cos [(2α- π6)+ π6]=cos (2α- π6)cos π6-sin (2α- π6)sinπ6=- 35× 32- 45× 12= -4-3 310． …………………… 10分18．(本小题满分12分)解：(1)选①， 因为S 1+S 3=2S 2+2，所以S 3-S 2=S 2-S 1+2，即a 3=a 2+2， 又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以4a 1=2a 1+2，解得a 1=1，因此a n =1×2n -1=2n -1．…………………………………… 4分此时任意m ，n ∈N *，a m a n =2m -1·2n -1=2m +n -2，由于m +n -1∈N *，所以a m a n 是数列{a n }的第m +n -1项，因此数列{a n }满足条件P ． ……………………………………7分选②，因为S 3= 73，即a 1+a 2+a 3= 73，又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a 1+2a 1+4a 1= 73，解得a 1= 13，因此a n = 13×2n -1． ………………………………… 4分此时a 1a 2= 29<a 1≤a n ，即a 1a 2不为数列{a n }中的项，因此数列{a n }不满足条件P ． ………………………………… 7分 选③，因为a 2a 3=4a 4，又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以2a 1×4a 1=4×8a 1，又a 1≠0，故a 1=4， 因此a n =4×2n -1=2n +1．…………………………………4分此时任意m ，n ∈N *，a m a n =2m +1·2n +1=2m +n +2，由于m +n +1∈N *，所以a m a n 是为数列{a n }的第m +n +1项，因此数列{a n }满足条件P ．……………………………………7分(2)因为数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以 a n ＋1a n=2，因此b n =n ×2n -1．所以T n =1×20+2×21+3×22+…+n ×2n -1，则2T n =1×21+2×22+…+(n -1)×2n -1+n ×2n，两式相减得-T n =1+21+22+…+2n -1-n ×2n………………………10分= 1-2n1-2-n ×2n=(1-n )2n-1，所以T n =(n -1)2n+1．……………………………………12分19．(本小题满分12分)解：(1)假设H 0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得χ2= 100×(36×30-24×10)2(36+24)×(10+30)×(36+10)×(24+30)= 2450207≈11.836>6.635，因为当H 0成立时，χ2≥6.635的概率约为0.01，所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关． …………………… 4分(2)记事件A 为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；事件B 为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标．由题意知：P (A )= 2460= 25，P (B )= 3040= 34． ……………………… 6分随机变量X 的取值可能为0，1，2，3．P (X =0)=(1- 25)2×(1- 34)= 9100，P (X =1)=C 12× 25×(1- 25)×(1- 34)+ 34×(1- 25)2= 39100，P (X =2)=( 25)2×(1- 34)+C 12× 25×(1- 25)× 34= 25，P (X =3)=( 25)2× 34= 325．所以随机变量X 的分布列为：X 0123P91003910025325………………………… 10分期望E (X )=0× 9100+1×39100+2× 25+3× 325=1.55． ………………………… 12分20．(本小题满分12分)(1)证明：因为∠PAD =90°，所以PA ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PA 平面PAD ，所以PA ⊥平面ABCD ．………………………… 2分又CD 平面ABCD ，所以CD ⊥PA ．在四边形ABCD 中，AD //BC ，∠DAB =90°，所以∠ABC =90°，又AB =BC =1，所以△ABC 是等腰直角三角形，即∠BAC =∠CAD =45°，AC =2．在△CAD 中，∠CAD =45°，AC =2，AD =2，所以CD = AC 2+AD 2-2×AC ×AD ×cos ∠CAD =2，从而AC 2+CD 2=4=AD 2．所以CD ⊥AC ．………………………… 4分又AC ∩PA =A ，AC ，PA 平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ． 又AE 平面PAC ，所以CD ⊥AE ．………………………… 6分(2)解：因为PA ⊥平面ABCD ，BA ⊥AD ，故以{ AB ， AD ，AP }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB =BC =PA =1，AD =2，所以 A (0，0，0)，P (0，0，1)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，则 CD =(-1，1，0)， AD =(0，2，0)．因为点E 在棱PC 上，且CE =λCP ，所以 CE =λ CP ，设E (x ，y ，z )，则(x -1，y -1，z )=λ(-1，-1，1)，故E (1-λ，1-λ，λ)，所以AE =(1-λ，1-λ，λ)． 由(1)知，CD ⊥平面PAC ，所以平面ACE 的一个法向量为n =CD =(-1，1，0)．设平面AED 的法向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由 AE AD 得 (1-λ)x 1+(1-λ)y 1+λz 1=0，y 1=0，令z 1=1-λ，所以平面AED 的一个法向量为m =(-λ，0，1-λ)．………………………… 9分因此 |cos θ|=|cos <m ，n >|=| m ·n|m ||n ||=| 222|= 10，化简得3λ2-8λ+4=0，解得λ= 23或2．因为E 在棱PC 上，所以λ∈[0，1]，所以λ= 23．所以当|cos θ|= 10时，实数λ的值为 23． ………………………… 12分21．(本小题满分12分)解：(1)因为椭圆C ： x 24+y 2=1，所以F 1(- 3，0)，F 2( 3，0)．设T (x 0，y 0)，则 TF 1⋅ TF 2=(- 3-x 0，-y 0)·( 3-x 0，-y 0)=x 02+y 02-3．因为点T (x 0，y 0)在椭圆C 上，即 x 024+y 02=1，所以 TF 1⋅ TF 2= 34x 02-2，且x 02∈[0，4]，所以 TF 1⋅TF 2的取值范围是[-2，1]． ………………………… 4分(2)因为直线l 与坐标轴不垂直，故设直线l 方程y =kx +m (m ≠-1，k ≠0)．设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由 x 24得(1+4k 2)x 2+8km x +4m 2-4=0，所以x 1+x 2=- 8km 1+4k 2，x 1x 2= 4(m 2-1)1+4k2． ………………………… 6分因为△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB ⊥AD ，即 AB ·AD =0，因此 (y 1+1)( y 2+1)+x 1x 2=0，即(kx 1+m +1)( kx 2+m +1)+x 1x 2=0，从而 (1+k 2) x 1x 2+k (m +1)( x 1+x 2)+(m +1)2=0，即 (1+k 2)× 4(m 2-1)1+4k 2-k (m +1)× 8km 1+4k2+(m +1)2=0，也即 4(1+k 2)( m -1)-8k 2m +(1+4k 2) (m +1)=0，解得m = 35．………………………… 9分又线段BD 的中点M (- 4km 1+4k 2， m1+4k 2)，且AM ⊥BD ，所以 m 1+4k 2 4km 1+4k 2=- 1k ，即3m =1+4k 2，解得k =± 5．又当k =± 5，m = 35时，△=64k 2m 2-4(1+4k 2)( 4m 2-4)=57625>0，所以满足条件的直线l 的方程为y =± 5x + 35. ……………………… 12分22．(本小题满分12分)解：(1)当k =2时，f (x )=2x -x ln x ，f ′(x )=1-ln x ，由f ′(x )>0，解得0<x <e ；由f ′(x )<0，解得x >e ，因此函数f (x )单调递增区间为(0，e )，单调递减区间为(e ，+∞)．……… 2分(2)f (x )=kx -x ln x ，故f ′(x )=k -1-ln x ．当k ≥1时，因为0<x ≤1，所以k -1≥0≥ln x ， 因此f ′(x )≥0恒成立，即f (x )在(0，1]上单调递增， 所以f (x )≤f (1)=k 恒成立．…………………………… 4分当k <1时，令f ′(x )=0，解得x =e k -1∈(0，1)．当x ∈(0，e k -1)，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(e k -1，1)，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 于是f (e k -1)>f (1)=k ，与f (x )≤k 恒成立相矛盾． 综上，k 的取值范围为[1，+∞)．…………………………… 7分(3)由(2)知，当0<x ≤1时，x -x ln x ≤1．令x = 1n 2(n ∈N *)，则 1n 2+ 2n 2ln n ≤1，即2ln n ≤n 2-1， 因此 ln n n +1≤ n -12． ……………………………………10分 所以 ln12+ ln23+…+ ln n n +1≤ 02+ 12+…+ n -12= n (n -1)4． …………………12分。