正方形
知识点一：正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
知识点二：正方形的性质：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
2.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
3.正方形既是轴对称图形也是中心对称图形。
知识点三：正方形的判定方法：1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2.有一组邻边相等的矩形是正方形；
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
练习题：
1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ C ）
A ．对角线相等且互相平分
B ．对角线相等且互相垂直平分
C ．对角线互相平分
D ．四条边相等，四个角相等
2.如图, E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE ＝DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论①AE ＝BF ；②AE ⊥BF ；③AO ＝OE ；④AOB DEOF S S ∆=四边形中，错误的有（ A ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
3.如图，E 是正方形ABCD 内一点，如果△ABE 为等边三角形，那么∠
DCE= 15 度． 4.如图，E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，且CE=AC ，AE 交CD 于点F ，则∠E= 22.5 度．
5.如图，若P 是边长1的正方形ABCD 内一点且S △ABP =0.4，则S △DCP = 0.1 ．
分析：过P 作EF ，使EF ∥BC ，则EF ⊥CD ，EF ⊥AB ，∴S △ABP =错误!未找到引用源。
AB•EP ，S △CDP =错误!未找到引用源。
CD•PF ，根据S △ABP +S △CDP =错误!未找到引用源。
6.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连接DF ，则∠CDF 的度数= 60 度．
7.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD 至点E ，使ME ＝MC ，以DE 为边作正方形DEFG ，点G 在边CD 上，则DG 的长为 5－1
8.如图，E F G H ，，，分别为正方形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且13
AE BF CG DH AB ====
，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为 2/5 9.如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 周长为 33
10.如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是 22.5度 ．
11.已知正方形ABCD 的边长为1，连接AC ，BD ，CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，则DE ＝ 2－ 1 .
11.如图，点E 是正方形
ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点
F ．求证：
DE DF =．
证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴ AD=CD ,∠A=∠DCF=900又∵DF ⊥DE ，
∴∠1+∠3=∠2+∠3∴∠1=∠2在Rt △DAE 和Rt △DCE 中，∠1=∠2，AD=CD ，∠A=∠DCF
∴Rt △DAE ≅Rt △DCE (ASA) ∴DE=DF ．
第2题 第3题 第4题 第5题 第6题
12.如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．
证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，AO CO ∴=．
又ACE Q △是等边三角形，EO AC ∴⊥，即DB AC ⊥． ∴平行四边形ABCD 是菱形；
（2）ACE Q △是等边三角形，60AEC ∴∠=o ． EO AC ⊥，1302AEO AEC ∴∠=∠=o ．
2AED EAD ∠=∠，15EAD ∴∠=o ．45ADO EAD AED ∴∠=∠+∠=o ．
四边形ABCD 是菱形，290ADC ADO ∴∠=∠=o ，∴四边形ABCD 是正方形．
13.如图，ABCD 是正方形，AE ∥DB ，BE ＝BD ，BE 交AD 于F ，试说明：ΔDEF 是腰三角形。
证明：过点A 作BD 的垂线,过点E 作BD 的垂线.垂足分别为G ,H.
显然有AG=EH.又AG=1/2 BD,所以EH=1/2 BD,又BD=BE,所以EH=1/2 BE,可知∠DBE=30度.所以∠FBA=15度,所以∠AFB=∠EFD=90-15=75度,
所以∠AFB=∠EFD=∠FED. 所以DE=DF.
14.如图，在正方形ABCD 中，△PAQ 是正三角形，设AB=10,求PB 的长。
解：∆ABP ≅∆ADQ ，∠QAP=60度， 所以∠PAB=30度, 设PB=x,则AP=2CP=2（10-X ）,
所以31020,)10(210222-=-=+x x x
15.如图，E 、F 、M 、N 分别是正方形ABCD 四条边上的点，且AE=BF=CM=DN ，求证，四边形EFMN 是正方形 。
结论：EFMN 是正方形
证明：∵ABCD 是正方形,AE=BF=CM=DN ∴AN=BE=CF=DM ，在△AEN 、△BFE 、△CMF 、
△DNM 中,AE=BF=CM=DN ，∠A=∠B=∠C=∠D ，AN=BE=CF=DM
∴△AEN ≌△BFE ≌△CMF ≌△DNM ∴EN=FE=MF=NM,∠ANE=∠BEF
∴∠NEF=180°-（∠AEN+∠BEF ）=180°-（∠AEN+∠ANE ）=180°-90°=90°，∵EN=FE=MF=NM,
∵EFMN 是菱形 又∵∠NEF=90° ∴EFMN 是正方形
16.如图，点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，AE 、BF 相交于点G ，BE=CF ，猜想AE
与BF 的关系并证明。
证明：在正方形ABCD 中，AB=BC,∠ABC=∠C=90°，∵BE=CF ∴⊿ABE ≌⊿BCF ﹙SAS ﹚
∴AE=BF ，∠BAE=∠CBF ，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CBF+∠AEB=90°，即∠BGE=90°
∴AE ⊥BG
17.如图，正方形ABCD 中，G 是BC 上的任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ∥DE ，且交AG 于
点F 。
求证：AF=BF+EF
证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD,∠BAD=90°，∴∠1+∠3=90°
∵DE ⊥AG ,则∠AED=∠DEG=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2
∵BF//DE ，∴∠AFB=∠DEG=90°，∵∠1=∠2,∠AFB=∠AED=90°,AB=AD
∴△ABF ≌△DAE （AAS ）
∴BF=AE ，∴AF=AE+EF=BF+EF
E C D B A
O
B C D E F A A
B
D C P Q
18.如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、
DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4,若∠AGB =30°，求EF 的长. 解：在正方形ABCD 中， AD ∥BC ， ∴∠1=∠AGB=300，在Rt △ADF 中，∠AFD=900 ， AD=2 ∴AF=3 ， DF =1， 由△ABE ≌△ADF ， ∴AE=DF=1， ∴EF=AF-AE=13 A C B D E
F G 1423。