选修4-5不等式选讲最新考纲:1．理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a+b|≤|a|+｜b|（a,b∈R）．(２)｜ａ-b|≤｜a-c|+|c－ｂ｜(ａ,b ∈Ｒ).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+ｂ｜≤c，｜ax＋ｂ|≥c,|ｘ－c｜＋|x－b|≥a．3.了解柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1.含有绝对值的不等式的解法(1）|ｆ（x)｜＞a(ａ>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；(2)｜f(x)|<a（a>0)⇔－ａ＜f(x)<a；(3)对形如|ｘ－a|＋|x-b|≤c，|x－a|＋|ｘ－b|≥c的不等式,可利用绝对值不等式的几何意义求解．２.含有绝对值的不等式的性质|a|-|ｂ|≤｜a±b｜≤|a|＋|b｜.问题探究：不等式|ａ|－|b|≤|ａ±ｂ|≤|ａ|+|ｂ|中，“＝”成立的条件分别是什么？提示:不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|ａ|+|ｂ｜，右侧“＝”成立的条件是ab≥0,左侧“＝”成立的条件是ab≤0且｜a|≥|b｜；不等式｜ａ|-｜b|≤|a－b|≤|a｜+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ａb≥0且|a|≥|ｂ|.3.基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥２ａｂ.当且仅当a＝b时，等号成立.定理２:如果a、b为正数，则错误!≥,当且仅当a=b时，等号成立.定理3：如果ａ、ｂ、ｃ为正数，则错误!≥错误!，当且仅当a＝b=ｃ时,等号成立.定理4:(一般形式的算术—几何平均值不等式）如果ａ1、ａ2、…、ａn为n个正数，则≥nａ1a2…a n，当且仅当a１=a２=…=a n时，等号成立．４.柯西不等式(１)柯西不等式的代数形式：设ａ,ｂ，c，ｄ为实数，则（ａ2＋ｂ2)·(ｃ2+d2)≥（ac+bｄ）２，当且仅当ad＝ｂｃ时等号成立．(２)若a i，b i(i∈Ｎ*)为实数,则（2，i)(错误!)≥(错误!i b i)2,当且仅当b i=0(ｉ=１,2，…，ｎ)或存在一个数k,使得a i＝kbｉ(i＝1,2，…,ｎ)时，等号成立．（３)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量,则|α|·|β｜≥｜α·β|,当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.1．判断正误（在括号内打“√”或“×”）(1)对|ａ＋b｜≥|a|－|b｜当且仅当a＞b>0时等号成立.(）(2)对|a－b|≤｜a|＋|b|当且仅当ab≤０时等号成立.（)(3)｜ax＋b|≤c（c>0)的解等价于-ｃ≤ax+b≤ｃ．（)（４)不等式|x-1|＋|x＋2｜<2的解集为Ø.()(5)若实数x、y适合不等式xｙ>1,ｘ＋y>-2，则x>０，y>0.()[答案] (１)× (２)√ (３)√ (4)√(5)√２.不等式|2ｘ-１|－ｘ<1的解集是( )A．｛x|０<ｘ<2} B．｛x|1<x<2｝Ｃ.{x|0<ｘ<1} ﻩD.{x|1<x<3}[解析]解法一:x=1时，满足不等关系,排除C、D、B，故选A．解法二:令ｆ(x）=错误!则f（x)<1的解集为｛x|0<x<2}.［答案] A３．设|a|＜1,|b｜<１,则|a+b|＋｜a－ｂ|与2的大小关系是( )Ａ.｜a＋b|＋|a-b｜>2 ﻩB.|a+ｂ|+|ａ－b｜＜2C.|ａ+b|＋|a－b｜=2 Ｄ.不能比较大小[解析] |a+b|+｜a-b|≤｜2ａ|<2.[答案]B4.若a,b，c∈(０，＋∞)，且a+b＋c=1,则a+ｂ+错误!的最大值为( )A．1 ﻩB.C． D.２[解析］(a++)２=(1×＼r(ａ)＋１×+1×c)2≤（12+12+12）（ａ＋ｂ＋ｃ）=3.当且仅当a＝b＝c=时,等号成立.∴(＋ｂ＋＼r(c))2≤3.故＋b＋错误!的最大值为错误!.故应选C．[答案]Ｃ５.若存在实数x使|x-a｜＋|x－1|≤３成立,则实数a的取值范围是___＿_＿＿_.[解析] 利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到１的距离和小于３,所以a的取值范围为－2≤ａ≤４.[答案] －2≤a≤4考点一含绝对值的不等式的解法解|x-a|+|x－b｜≥c(或≤c）型不等式,其一般步骤是:(1)令每个绝对值符号里的代数式为零,并求出相应的根．(２)把这些根由小到大排序,它们把定义域分为若干个区间.(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式，求出它们的解集.(４）这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号.(1)(20１5·山东卷）不等式|x－1|-|x-5｜<2的解集是()A.(－∞，４) ﻩB.(－∞，1）C.（1，4)ﻩD．（1,５）（2）(20１4·湖南卷)若关于x的不等式|ａx-2｜＜３的解集为，则a＝＿＿___＿__.[解题指导]切入点:“脱掉”绝对值符号;关键点:利用绝对值的性质进行分类讨论.[解析](1）当x<1时,不等式可化为－(x-１)＋(ｘ－5）<2,即－４＜2,显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞,1);当1≤x≤5时,不等式可化为x－1+(x-5）＜2，即2x-6<2，解得x<4，又1≤x≤5,所以此时不等式的解集为[1,4)；当ｘ>5时，不等式可化为(x－1)－（x－5)＜2,即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上,不等式的解集为（-∞，４)．故选A.（2）∵|aｘ-2|<３,∴-1＜aｘ<５．当ａ>0时,-<x<，与已知条件不符；当a＝0时,ｘ∈R,与已知条件不符;当a＜０时,5a<x<－错误!，又不等式的解集为，故a=-３.[答案](1）Ａ(2)－3用零点分段法解绝对值不等式的步骤:(1）求零点;（2）划区间、去绝对值号;(3）分别解去掉绝对值的不等式;(４)取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值．对点训练已知函数f（x)＝|x+ａ|+|x-2｜．(1)当a＝-3时,求不等式f（x)≥3的解集；(2)若f(x)≤｜ｘ－4|的解集包含[１,2],求a的取值范围．[解] (1）当a=-3时，f(x)＝错误!当x≤2时，由f(x)≥3得－2ｘ+5≥３，解得ｘ≤１;当２<x＜３时，f（x)≥3无解；当x≥3时，由f（x)≥３得２ｘ-５≥３,解得ｘ≥4;所以f(x）≥３的解集为{ｘ｜x≤1或x≥4}.（2）f(ｘ)≤|x－4|⇔|ｘ－4｜-|x-2|≥|x+ａ|．当ｘ∈[１，2］时，|x－4｜-|ｘ－2|≥|ｘ+a|⇔４－ｘ－(２－ｘ)≥｜x＋a｜⇔－２－a≤x≤2－a.由条件得-2－a≤１且2－a≥2,即-３≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－３,0].考点二利用绝对值的几何意义或图象解不等式对于形如|ｘ-ａ｜+｜x-ｂ｜＞c或|x－a｜＋｜ｘ-b｜＜c的不等式,利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式,更为直观、简捷，它体现了数形结合思想方法的优越性.|x－a｜+｜x-b｜的几何意义是数轴上表示x的点与点a和点ｂ的距离之和,应注意ｘ的系数为1．（1)(201４·重庆卷）若不等式｜ｘ－１|＋|x＋2|≥a2＋＼f(1,2)a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是＿_＿__＿_＿.(2）不等式｜x＋1|-｜x-２|＞k的解集为R,则实数k的取值范围是__＿__＿____.[解题指导] 切入点：绝对值的几何意义;关键点：把恒成立问题转化为最值问题．[解析］(1)∵|x－1|＋|x＋2|≥｜（ｘ－1)-(x-2)|=3,∴a2＋错误!ａ＋２≤3,解得错误!≤a≤.即实数a的取值范围是错误!.(２)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x,－1,2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于P A-PＢ>ｋ恒成立．∵ＡB＝3，即|x＋1|－｜ｘ－2|≥-３.故当k<－3时,原不等式恒成立．解法二:令y=|x＋1|－|x-2|，则y=错误!要使｜x＋1|-|x-2｜>k恒成立,从图象中可以看出,只要k＜－3即可．故ｋ<-３满足题意．[答案] (1)（2)（－∞，-3)解含参数的不等式存在性问题,只要求出存在满足条件的ｘ即可；不等式的恒成立问题,可转化为最值问题，即ｆ(x）<a恒成立⇔a>ｆ(x）mａx，f(x)>a恒成立⇔ａ<f(x）ｍin.对点训练(２015·唐山一模）已知函数f(x)=｜2x-a|＋a，ａ∈R，g(ｘ)=|２x-１|.（1)若当g(x)≤５时，恒有f（x)≤6，求a的最大值;(２)若当x∈R时，恒有f(x)+g(x)≥3，求a的取值范围．[解] （1)g(ｘ)≤５⇔|2x－１|≤５⇔-5≤2x-1≤5⇔－2≤x≤３;f（x）≤６⇔｜２x-ａ|≤６-a⇔ａ-6≤2x－a≤６－a⇔a-3≤ｘ≤3.依题意有，a-３≤-２，a≤1．故ａ的最大值为1．(2)ｆ(x）＋g(x）＝｜2x－a|+|2ｘ-1|+a≥｜2ｘ－a-2x+1｜＋a＝|ａ-1｜＋a，当且仅当(2x－ａ)(2ｘ－１)≤０时等号成立.解不等式|ａ-1|＋a≥3，得a的取值范围是［２，+∞)．考点三不等式的证明与应用不等式的证明方法很多,解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么,还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论,才能找到正确的解题途径．应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a,ｂ,ｃ，ｄ均为正数,且a＋ｂ=c＋ｄ,证明:(1)若ａb>cd,则＋>错误!＋错误!；（2)a+>错误!+是｜a－b|<|ｃ-ｄ|的充要条件．[解题指导] 切入点:不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明]（１)因为(ａ+错误!)2＝a＋b＋2,(错误!+)2＝c＋d+2，由题设ａ＋b＝c＋d，ab>cd得(＼r（a)＋)2>(ｃ+ｄ)2.因此＋>+＼r(d).（2)①若|a－b|<|c－d｜，则（a-b)2＜（ｃ－d)2,即(a+b)2-4ab＜（ｃ＋d）2－4cｄ．因为a＋b=ｃ+d,所以ab＞ｃｄ.由（1)得错误!+＞错误!+．②若＼ｒ（ａ)+＼r(b)>+错误!，则（错误!＋)2>(错误!＋)2，即ａ+b+２>ｃ+d+2.因为ａ+b＝ｃ+d,所以ａb>cｄ.于是（a－b)２＝(a+b)2－4ａb<(c＋d)２－４cｄ=(c-d)２．因此|ａ-b|<｜c－d|.综上,a+>＼r(c)+是|ａ－b｜<|ｃ－d｜的充要条件．分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.对点训练（2０14·新课标全国卷Ⅱ）设a、b、c均为正数,且a+b＋c=1.证明：(1)ａb＋bc＋aｃ≤错误!；（2)错误!＋＋错误!≥1．[证明］(1)由a2+ｂ2≥2ab，b2+c2≥2bc,c２＋a2≥2cａ得a2+b２＋c2≥ab+ｂc ＋ca.由题设得(a+b＋c)2＝1,即a2＋ｂ2＋ｃ2＋２aｂ+2bc+2cａ＝１．所以3(ａb＋bc＋ｃａ)≤１,即ab＋bc+ｃａ≤错误!．(２)因为错误!+ｂ≥2a，+c≥2b，＋a≥２c，故错误!+++（ａ+b＋c)≥2（a+b+ｃ),即+＼f（b２,c)＋≥a+b+c.所以＋＋错误!≥１.———————方法规律总结————————[方法技巧]1.绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号.２．绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件．3．在证明不等式时,应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧.如在使用柯西不等式时,要注意右边为常数．［易错点睛]1.对含有参数的不等式求解时,分类要完整.2.应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件.课时跟踪训练(七十)一、填空题1．不等式|2x－1|<3的解集为__________．[解析］|2ｘ－1|<3⇔-3<２ｘ－1＜3⇔-１<x<２.[答案] (-1,2)2.若不等式|ｋx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},则实数k=__＿＿______.[解析]∵|ｋx-4|≤2，∴-2≤ｋx－4≤2，∴2≤ｋx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝２.[答案] 2３．不等式|2x＋1|+|x-1|＜2的解集为___＿___＿.［解析] 当ｘ≤-错误!时,原不等式等价为－（2x＋1)-(ｘ－1)<2，即-3x＜2,x>－，此时-<ｘ≤-12.当-错误!<x<１时,原不等式等价为(2ｘ＋1)－（x－1)<2，即x<０,此时-<ｘ＜0.当x≥1时,原不等式等价为(2ｘ+1)+(x－１)＜2，即3x<2,x＜,此时不等式无解,综上，原不等式的解为－错误!<x＜0,即原不等式的解集为错误!.[答案］错误!4．已知关于x的不等式|ｘ-1|+|x|≤k无解，则实数k的取值范围是___＿＿＿＿__＿．［解析] ∵|x－1|＋｜x|≥｜x-1-x|＝１，∴当k<1时,不等式|x-1|+|x|≤ｋ无解，故k＜１.[答案］（－∞,１)5.(20１5·西安统考）若关于实数x的不等式|x－5|+|x＋3｜<a无解,则实数a 的取值范围是_＿___＿＿＿．[解析] |ｘ－５|+｜x＋３|≥|（x－5)－(x＋3)｜＝８，故ａ≤8.［答案]（－∞，8]6.（2015·重庆卷）若函数f（x）＝|ｘ＋1|+2|ｘ－a|的最小值为5,则实数a＝_＿__＿____＿.[解析］当a=－1时，f(ｘ)＝３｜x＋1|≥0,不满足题意；当a<－１时，ｆ（x)=ｆ(x)min=f（a）=-3a－1＋２a=5，解得ａ=－6;当a＞-1时，ｆ(x)＝错误!ｆ(ｘ)min ＝f(a）=-a＋1＋2ａ＝5，解得a=4．[答案]－６或4７.若关于x的不等式｜a|≥|ｘ+1|＋｜x－2｜存在实数解,则实数a的取值范围是_＿_____＿__.[解析]∵f（x)＝｜x＋１|＋|x-2|＝错误!∴f（x)≥3．要使|ａ|≥|x+1|＋|x-2|有解,∴|a|≥3，即a≤－3或ａ≥3.[答案] (-∞,-３]∪［3,+∞)8.已知关于x的不等式|x-ａ|+1-x＞0的解集为R,则实数a的取值范围是_＿__＿__＿__．[解析] 若x －1<0，则a ∈Ｒ；若x -１≥0,则(x -ａ)2＞（x －１)2对任意的x ∈［１，+∞)恒成立，即(ａ-1)[(a ＋1)－2x ]>0对任意的x ∈[1，+∞)恒成立，所以错误!(舍去)或错误!对任意的x ∈[1,+∞]恒成立,解得a <1.综上，a <1．[答案］ （－∞，1）9.设a ,b ,c 是正实数,且a ＋ｂ＋c ＝９,则＼f(2,a ）＋＋错误!的最小值为＿__＿____＿_.［解析］ ∵(a ＋b ＋c )错误!＝[(a )2+()2＋（错误!)2]错误!≥错误!2＝１８，∴＋+2c ≥2,∴错误!+错误!+的最小值为２.[答案］ ２10.（2０14·陕西卷)设a ，ｂ,m ，ｎ∈Ｒ,且ａ2＋b 2=5,ma ＋ｎb ＝5，则 的最小值为＿_______.[解析］ 由柯西不等式,得(a 2＋b 2）(m 2＋n 2)≥(a ｍ＋bn )2,即5(m 2+n 2)≥25,∴m 2＋n 2≥5，当且仅当ａn =b ｍ时，等号成立．∴的最小值为.[答案]１1．对任意x ，y ∈R ,|x －1|＋|x |+|y -1|+|y +1|的最小值为＿_＿__＿____.[解析] ∵｜ｘ-１|+|ｘ｜＋|y -1|+|y +1|＝（|1-ｘ|＋|ｘ|)＋（|1－y |＋｜1+ｙ｜)≥|(1-x )+x |＋|(１-ｙ）+(1＋ｙ)|＝1＋2＝3,当且仅当（1-x )·x ≥0,(１-ｙ)·(1+y )≥0,即0≤x ≤1,－１≤y ≤1时等号成立， ∴|x －1｜+|ｘ|+｜y －1|＋|ｙ+１｜的最小值为3.[答案] 312．若不等式|x ＋１|-｜x -４|≥a ＋,对任意的x ∈R 恒成立，则实数ａ的取值范围是_＿___＿__.[解析] 只要函数f (x ）＝|x ＋1|-|x -4|的最小值不小于ａ+即可．由于||ｘ+1|－｜x －4||≤|(x ＋１)－(ｘ-４)｜＝5,所以－5≤|x ＋1｜-｜ｘ-4｜≤５,故只要－５≥ａ+＼f （４,a )即可．当ａ>０时,将不等式－5≥a ＋＼f(4,ａ)整理，得ａ2＋5a ＋4≤0,无解；当a<0时,将不等式-5≥ａ＋整理,得a2+5a+4≥０，则有a≤-４或-1≤a<０.综上可知,实数ａ的取值范围是(－∞,-４]∪［-1，０).[答案］(-∞,－4]∪[-１,0）二、解答题13.已知不等式２|x－3|＋|ｘ-4｜<2a.(１）若a=1,求不等式的解集;（２）若已知不等式的解集不是空集,求ａ的取值范围.[解] (1)当a＝1时,不等式即为２|x-3｜＋|ｘ-4|<２,若x≥４,则3ｘ-10<２，x＜4,∴舍去;若3<x<4,则x-２<2,∴3＜x<4;若x≤３，则1０-3ｘ<2，∴<x≤3.综上，不等式的解集为错误!.(2)设ｆ(ｘ)＝2｜x－3|+｜x－４｜，则f(ｘ)=错误!作出函数f（x)的图象,如图所示．由图象可知,ｆ(ｘ)≥１,∴2a>1,a>,即a的取值范围为.1４.(20１５·新课标全国卷Ⅰ）已知函数f（x)＝|x＋1|-２|x－ａ｜，a>0.(１)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；（2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于６,求a的取值范围．[解] (１)当a=1时,f(x）＞１化为|x＋1|－２|x-1|-1＞0.当ｘ≤-１时,不等式化为x-4>0,无解；当-1<x<１时,不等式化为3x-2>0，解得＼f（２,3)<x<1;当x≥1时,不等式化为－ｘ+2＞０,解得1≤x<２.所以f(x)>１的解集为错误!.(2)由题设可得，f(ｘ)＝错误!所以函数ｆ（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A错误!，B(2a＋1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为错误!(a＋１)2.由题设得(a＋1)2>6,故ａ>2．所以a的取值范围为(2，+∞).１5.设函数f(x)＝|ｘ－1|+|x-a｜.（1)若a＝-1,解不等式f(ｘ)≥３；（２）如果∀x∈R，ｆ(ｘ)≥2,求a的取值范围．［解] (1)当a=－1时,f(x）=|x-1|＋|x+1|,f(x)=错误!作出函数f（ｘ)=｜x－１｜+|x＋1｜的图象．由图象可知,不等式f（x）≥3的解集为.(2）若a=1，f(x）=2｜ｘ-１|，不满足题设条件;若a<1，f(ｘ)=错误!f(ｘ)的最小值为１－a；若ａ>１，f（x)=f（ｘ）的最小值为a－１.∴对于∀x∈R,f（x)≥2的充要条件是|a－１｜≥2，∴ａ的取值范围是(-∞，-1]∪[3,＋∞)．16.(2０15·福建卷)已知ａ>0,b>0,c>0，函数f(x）＝|ｘ＋ａ|+|x-b｜+c的最小值为4.(１)求ａ＋b+c的值；(2）求a２＋19b2+c2的最小值.[解] (1)因为f(ｘ)＝|x+a｜＋｜x－b|＋ｃ≥｜(x＋ａ)－(x－b)|+ｃ＝|a+b|+ｃ，当且仅当-a≤x≤b时,等号成立．又a>０,ｂ>0,所以｜a＋b|=a+ｂ，所以f(x）的最小值为ａ＋ｂ+ｃ.又已知ｆ(x)的最小值为4，所以a＋ｂ+ｃ＝4.(２)由（1)知a＋b+ｃ＝4，由柯西不等式得错误!(4＋９＋1)≥错误!２＝(ａ+b+ｃ)2=１6,即ａ2+错误!b2＋ｃ2≥.当且仅当１2a2=＝,即a=错误!,b=错误!，c=时等号成立.故错误!ａ2+b2＋ｃ2的最小值为错误!.。