多层增透膜的理论解释4.1 λ/4增透膜λ/4的光学增透膜（下面讨论时光学元件用玻璃来代替, 初始入射介质用空气来代替）, 一般为在玻璃上镀一层光学厚度为λ/4的薄膜,且薄膜的折射率大于空气的折射率, 小于玻璃的折射率由菲涅耳公式知, 光线垂直人射时, 反射光在空气一薄膜界面和薄膜一玻璃界面都有半波损失设空气、镀膜、玻璃的折射率分别为n0,n1,n2 且n2>n1>n0定义R01,T01为空气-薄膜界面的反射率与透射率,R01，T01为薄膜-空气界面的反射率与透射率,R12，T12为薄膜-玻璃界面的反射率与透射率, R21，T21为玻璃-薄膜界面的反射率与透射率如图4-1所示示, 为了区分人射光线和反射光线, 这里将入射光线画成斜入射，图4-1中反射光线1和2的光程差为λ/2, 这样反射光便能完全相消由菲涅耳公式知道, 光垂直通过界面时, 反射率R 和透射率T 与折射率n 的关系为：221211221122121221122101001100121011001)(41)()(41)(n n n n R T T n n n n R R n n n n R T T n n n n R R +=-==+-==+=-==+-==设人射光的光强为I0, 则反射光线1的光强I1=I0R0, 反射光线2的光强I2=I0I01R12T10。

余下的反射光的光强中会出现反射率的平方, 因为反射率都比较小, 故可不再考虑。

λ/4的光学增透膜使反射光线1与反射光线2的光程差为δ=2n1d1=λ/2, 故相位差为л, 由干涉理论知, 干涉后的光强为:212010102121)(cos R T R I I I I I I p -=++=π因为折射率n0,n1,n2比较接近，例如n0=1,n2=1.5的界面，T=96%，故可近似地取T01和T10为1，若使Ip 为0 ，则有R01=R12，即： 2121220101)()(n n nn n n n n +-=+-由n2>n1>n0得201n n n =，当上式成立时，反射率最小，透射率最大。

但是涂一层膜也有不足之处，因为常用的λ/4光学增透膜MgF2,MgF2的折射率为1.38,1.38*1.38=1.9044，而玻璃的折射率一般在1.5~1.8之间，所以用MgF2增透膜不能使反射光光强最小，再者，一波长为λ+Δλ的光垂直入射到λ/4的光学增透膜同波长为λ的光一样反射光线1和反射光线2的光程差为δ=λ/2相位差为ΔΨ=2лλ/2（λ+Δλ）从而干涉后的光强为：ϕ∆++=cos 22121I I I I I p ，即可选择合适的材料，使I1=I2，从而上式变为)2.(cos 221λλλπ∆+=I I p 。

如图4-2所示，I 为反射光的光强，Δλ为线宽，I 随Δλ的地增加而迅速增加。

光学厚度为λ/4的光学增透膜的反射光强随波长的变化曲线呈V 形，这样λ/4的光学增透膜的透射率较大的波段就较小, 我们称λ/4的光学增透膜的频宽较小，现代的照像机的镜头、摄像机的镜头, 以及彩色电视机的荧屏并不要求在某一波长的光有很高的透射率, 而希望在较宽的波段范围内透射率较低且一致, 即要求增透膜的频宽较大。

所以我们就可以镀两层膜，甚至是多层膜。

空气 玻璃第一层膜 12图 4-14.2镀两层膜在需镀膜的元件上镀两层膜。

这里设空气的折射率为n0,镀的两层膜的折射率为分别为n1 和n2, 厚度分别为d1和d2,玻璃的折射率为n3,且有n3>n2>n1>n0。

定义R01,T01为空气一第一层薄膜界面的反射率与透射率,R10,T10为第一层薄膜-空气界面的反射率与透射率, R12,T12为第一层薄膜-第二层薄膜界面的反射率与透射率,R21,T21为第二层薄膜-第一层薄膜界面的反射率与透射率,R23,T23为第二层薄膜-玻璃界面的反射率与透射率,R32,T32为玻璃-第二层薄膜界面的反射率与透射率, 入射光线垂直人射到介质上取人射光的振动方程为：)cos(000θω+=t A E 。

同λ/4的光学增透膜的一样，我们只讨论反射光线1、2、3的情况。

由n3>n2>n1>n0知，反射光线1、2、3都有半波损，设两层薄膜引起的光程差分别为δ1和δ2，反射光线1、2、3的波动方程分别为：)22cos()2cos()cos(210331022011πδλπδλπθωπδλπθωπθω++++=+++=++=t A E t A E t A E则干涉点P 处的光强为三束光线的叠加)](2cos[)2cos()cos(210310201δδλπθωδλπθωθω+++-++-+-=t A t A t A E p解此方程可得下述结果：（1）令R01=R12=R23，即有232312120101n n n n n n n n n n n n +-=+-=+- 解得：32331023133201,n n n n n n ==取R=R01=R12=R23 ，由于透射光的光强近似为I0，从而：22101000)]}(2cos[)2cos(){cos(δδλπθωδλπθωθω++++++++=t t t R I I p当3221πδλπ=且34)(221πδδλπ=+时，有Ip= 0。

又δ1=2n1d1，δ2=2n2d2，所以n1d1=λ/6,n2d2=λ/6，故只需选取32331023133201,n n n n n n ==的材料，分别镀上一层光学厚度为λ/6的薄膜，即可以将反射光尽量减小，就可以达到理想的效果。

镀这样的两层膜，当以波长为λ+Δλ的光垂直入射时，则干涉处的光强为2л/（λ+Δλ），又因为δ1=δ2=λ/3，所以有：22101000)]}(2cos[)2cos(){cos(δδλλπθωδλλπθωθω++∆++++∆++++=t t t R I I p =200)}3.2cos()]3.2cos(21{[λλλπθωλλλπ+∆+++∆+t R I=)2.21(sin )23.21(sin 220λλπλλπ+∆+∆R I 其结果如图4-3所示，图象呈W 形，说明膜层在一定的线宽上普遍获得较好的增透效果。

(2)保持n3>n2>n1>n0,取δ1=2n1d1=λ/2,δ2=2n2d2=λ,同上述一样，透射光的光强都近似为I0，则2010-100-200ΔλI 0.21.00.6图 4-322101000)]}(2cos[)2cos(){cos(δδλπθωδλπθωθω++++++++=t t t R I I p改为：2231201020))((cos R R R t I I p --+=θω 当231201R R R --=0时，即有232312120101n n n n n n n n n n n n +-++-=+-，则有Ip=0 ，经整理上式得：0))()((33231201220320320321210221321221=+++----+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n我们镀膜时，入射介质和需镀膜得元件一般为已知，即有n0和n3已知，这样上式就为关于n1和n2 的方程，选取不同的n1便可得到n2。

不过，由于条件n3>n2>n1>n0的限制，当n1过大或n2过小时，会出现方程无解的的情况。

这样的两层膜，当以波长为λ+Δλ的光垂直入射时，则干涉处的光强如图 所示呈W 形，说明此种镀膜得方法可使膜层在一定的线宽上普遍有较好的增透效果。

4.3镀多层膜在需要镀膜得元件上镀上三层膜。

取n2>n1>n0和n2>n3>n4，其中n0为空气的折射率，n4为玻璃的折射率。

由λ/4的光学增透膜知：当201n n n =且n1d1=λ/4时，反射光线1和2能完全相消。

423n n n =且n3d3=λ/4时，光线3和4也能完全相消。

不同的是，反射光线1、2有半波损失，而反射光线3、4没有半波损失。

这样，在略去其余的反射光线和透射率近似为1的情况下，反射光线能完全相消。

当然，由于膜层的增多, 透射率的影响会增加, 这样, 透射层次越多, 光强会越小, 且反射光线2和反射光线3的相位也相反。

因为反射光线2有半波损失, 反射光线3没有半波损失, 则n2d2=λ/2时, 便可以满足上述要求。

这样的三层膜, 当以波长为λ+Δλ的光垂直人射时, 则反射光干涉处的光强为：)2.3(cos 421λλλπ∆+=I I p ，其结果图象也呈W 形，只是在同一频宽上，增透效果会更好。

考虑到膜层的吸收和透射次数的增加时, 各层的透射率的积不再接近于1，对多层膜系的研究主要是它的反射和透射特性。

光学仪器在镀膜时,由高折射率层和低折射率层的膜交替叠成膜系,层间的交界面可高达几十个到几百个。

因为采用高低折射率的膜交替的层数不同,一种情况为膜系对入射光产生强烈反射,反射特性显著;而另一种情况为入射光几乎全部透过,透特性显著。

在一个多层薄膜系中,光束将在每一个界面上多次反射,涉及到大量光束的干涉现象,若薄膜和基底的光吸收无法忽略,则计算将变得更加复杂,所以直接采用多光束干涉来计算是相当复杂繁琐的,而运用矩阵的方法来解决这一问题将有许多优越性。

特性矩阵就是把界面两边的场利用边界条件相互联系起来的矩阵,用一个二阶矩阵代表一个单薄膜。

在分析和计算光学薄膜系统的特性时,通常采用传输矩阵方法,该方法已成为光学薄膜计算与设计的常用和有效方法,并广泛地应用于光子晶体和微带天线等领域的研究。

首先，单层膜是膜系的基本单元，我们求解单膜特性矩阵。

设ng 为基底的折射率，n0是空气的折射率，n1是介质层的折射率，则膜层的传输矩阵为：])[(][2211H E M H E =式中1E 和1H 表示在界面Ⅰ的n0一侧的场矢量，2E 、2H 表示在界面Ⅱ的ng 一侧的场矢量。

下面导出矩阵M 的表达式。

在交界面Ⅰ上有入射波1i E 、反射波1r E ，折射光波1t E ，由介质n1入射到界面Ⅰ上的光波2'r E 。

假设界面上无自由电荷及传导电流，根据边界条件，则有E 的切向分量连续、H 的切向分量连续。

考虑1E 垂直入射面（s 波），得：2'22121111'21111cos cos cos cos i r i t i r i i r t r i H H H H H E E E E E θθθθ-=-=+=+=根据i i i iii n E u E u H 0εε==于是，上式可以变为：21'210101101cos )(cos )(i r t i r i n E E u n E E u H θεθε-=-=同样，在交界面Ⅱ上也可以写出22222222222cos cos cos t t i r i i t r i H H H H E E E E θθθ=-==+=同样，上式的第二式也可以变为：22202202cos cos )(t g t i r i n E n E E u H θθε=-=为了求特征矩阵，我们可把上述公式，稍加变换，求出1i E 、2r E 、2E 、2H 之间的关系。