第二章数列单元测试1(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)1．在等差数列{a n}中，若a4＋a6＝12，S n是数列{a n}的前n项和，则S9的值为( ) A．48 B．54C．60 D．66[答案] B[解析] ∵a4＋a6＝a1＋a9＝12，∴S9＝9a1＋a92＝9a4＋a62＝9×6＝54.2．若等比数列{a n}的公比q>0，且q≠1，又a1<0，那么( )A．a2＋a6>a3＋a5B．a2＋a6<a3＋a5C．a2＋a6＝a3＋a5D．a2＋a6与a3＋a5的大小不能确定[答案] B[解析] (a2＋a6)－(a3＋a5)＝(a2－a3)－(a5－a6)＝a2(1－q)－a5(1－q)＝(1－q)(a2－a5)＝a1q(1－q)2(1＋q＋q2)．∵q>0，且q≠1，又a1<0，∴(a2＋a6)－(a3＋a5)<0.即a2＋a6<a3＋a5.3．△ABC中三内角A、B、C成等差数列，三边a、b、c成等比数列，则三内角的公差等于( )A．0° B．15°C．30° D．45°[答案] A[解析] ∵A、B、C成等差数列，则B＝60°.又三边成等比数列，∴b2＝ac，则有sin2B＝sin A sin C.3 4＝－12[cos(A＋C)－cos(A－C)]，即cos(A －C )＝1，∴A －C ＝0°，∴A ＝C .又∵B ＝60°，∴A ＝B ＝C ＝60°，故选A.4．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n3 C.n 22＋3n4 D ．n 2＋n [答案] A[解析] ∵a 1，a 3，a 6成等比数列，则(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋5d )，a 1d ＝4d 2，∴d ＝12，∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝2n ＋n 2－n 4＝n 24＋74n . 5．某工厂去年产值为a ，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为( )A ．1.14a B ．1.15aC ．11×(1.15－1)a D ．10(1.16－1)a [答案] C[解析] 本题是等比数列实际应用问题，考查建模能力和实际问题中求通项还是前n 项和的区别能力．设从去年开始，每年产值构成数列为{a n }，则a 1＝aa n ＝a (1＋10%)n －1(1≤n ≤5)，从今年起到第5年是求该数列a 2到a 6的和应为S 6－a 1＝a 1.16－11.1－1－a ＝11×(1.15－1)a .6．212＋414＋818＋…＋102411024等于( )A ．204610231024B ．200710231024C ．104711024 D ．204611024[答案] A[解析] 212＋414＋818＋…＋102411024＝(2＋4＋8＋…＋1024)＋(12＋14＋18＋…＋11024)＝21－2101－2＋12[1－1210]1－12＝211－2＋1－(12)10＝2046＋210－1210＝2046＋10231024＝204610231024.7．等差数列{a n}中，a1>0，若其前n项和为S n，且有S14＝S8，那么当S n取最大值时，n 的值为( )A．8 B．9C．10 D．11[答案] D[解析] 解法一：∵S14＝S8，∴a9＋a10＋…＋a14＝0，∴a11＋a12＝0，∵S14＝S8，a1>0，∴d≠0.故a11>0，a12<0，∴S11最大．解法二：∵a1>0，S14＝S8，∴d<0.∴点(n，S n)是抛物线上的点，且抛物线的对称轴为n＝11，抛物线的开口向下，∴n＝11时，S n取最大值，故选D.8．正项数列{a n}满足a2n＋1＝a2n＋4(n∈N*)，且a1＝1，则a7的值为( )A．4 B．5 C．6 D．7[答案] B[解析] ∵a2n＋1＝a2n＋4(n∈N*)，∴a2n＋1－a2n＝4，又a1＝1，∴a21＝1.∴数列{a2n}是首项为1，公差为4的等差数列，∴a2n＝1＋4(n－1)＝4n－3.∴a27＝4×7－3＝25，又a7>0，∴a7＝5.9．若等比数列{a n}的前n项和S n＝2010n＋t(t为常数)，则a1的值为( )A．2008 B．2009C．2010 D．2011[答案] B[解析] ∵等比数列{a n}的前n项和S n＝2010n＋t，∴a1＝S1＝2010＋t，a2＝S2－S1＝20102＋t－2010－t＝2009×2010，a3＝S3－S2＝20103＋t－20102－t＝2009×20102，又a1a3＝a22，∴(2010＋t)×2009×20102＝(2009×2010)2，∴t ＝－1，∴a 1＝2010＋t ＝2009.10．若log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x＋11)成等差数列，则x 的值为( ) A ．7或－3 B ．log 37 C ．log 27 D ．4 [答案] C[解析] 由已知得，2log 3(2x －1)＝log 32＋log 3(2x ＋11)，整理得(2x )2－4·2x－21＝0，解得2x＝7，∴x ＝log 27.11．已知0<a <b <c <1，且a 、b 、c 成等比数列，n 为大于1的整数，则log a n ，log b n ，log c n 成( )A ．等差数列B ．等比数列C ．各项倒数成等差数列D ．各项倒数成等比数列 [答案] C[解析] ∵b 2＝ac ，∴1log a n ＋1log c n＝log n a ＋log n c ＝log n (ac )＝log n b 2＝2log n b ＝2log b n. 12．把数列{2n ＋1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环分为：(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，(23)，(25,27)，(29,31,33)，(35,37,39,41)，(43)，…则第104个括号内各数之和为( )A ．2036B ．2048C ．2060D ．2072 [答案] D[解析] 由观察会发现，每十个数都是一个循环，一个循环里有10个数组成，104个括号有26个小循环，则第104个括号内有四个数，则这四个数为数列3,5,7,9…的第257项，第258项，第259项，第260项，分别为3＋(257－1)×2,3＋(258－1)×2,3＋(259－1)×2,3＋(260－1)×2，即515,517,519,521，其和为2072.二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________. [答案] 15[解析] 由等差数列的性质得，a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝22，又a 6＝7，a 5＝22－7＝15. 14．已知数列1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值为________．[答案]52[解析] a 1＋a 2＝5，b 22＝1×4，b 2＝±2，而b 2是第三项，第一项和第五项都是正数，故b 2＝2， ∴a 1＋a 2b 2＝52. 15．(2011·湖北理)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．[答案]6766[解析] 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766. 16．在等差数列{a n }中，S n 为它的前n 项和，若a 1＞0，S 16＞0，S 17＜0, 则当n ＝________时，S n 最大．[答案] 8[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧S16＝16a 1＋a 162＝8a 8＋a 9＞0S17＝17a 1＋a 172＝17a 9＜0，∴a 8＞0而a 1＞0，∴数列{a n }是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n ＝8时，S n 最大．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1022，求公差d .[解析] ∵a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n n －12d ，又a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1022，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n －1d ＝－512 ①n ＋12n n －1d ＝－1022 ②把(n －1)d ＝－513代入②，得n ＋12n ·(－513)＝－1022，解得n ＝4，∴d ＝－171.18．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ＝2－2a n ，n ∈N *.求证：数列{a n }为等比数列，并求通项a n .[证明] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－2a 1，∴a 1＝23；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2－2a n )－(2－2a n －1) ＝2a n －1－2a n .∴a n a n －1＝23. 故{a n }是以 a 1＝23为首项，以q ＝23为公比的等比数列．∴a n ＝a 1qn －1＝(23)n. 19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝1，S 11＝33. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(14)a n .求证：{b n }是等比数列，并求其前n 项和T n .[解析] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1S 11＝33，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝111a 1＋11×102d ＝33，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12d ＝12，∴a n ＝n2.(2)∵b n ＝(14)n 2 ＝12n ，∴b n ＋1b n ＝12，∴{b n }是以b 1＝12为首项，12为公比的等比数列，前n项和T n ＝121－12n 1－12＝1－12n .20．(本小题满分12分)设数列{a n }满足a 1＝1,3(a 1＋a 2＋…＋a n )＝(n ＋2)a n ，求通项a n .[解析] ∵3(a 1＋a 2＋…＋a n )＝(n ＋2)a n ， ∴3S n ＝(n ＋2)a n ，∴3S n －1＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)，两式相减，得 3a n ＝(n ＋2)a n －(n ＋1)a n －1， ∴(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1，即a n a n －1＝n ＋1n －1(n ≥2)． ∴a 2a 1＝31，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n a n －1＝n ＋1n －1(n ≥2)，将以上各式相乘，得 a n a 1＝n n ＋12，又a 1＝1，∴a n ＝n n ＋12. 又a 1＝1满足上式，∴a n ＝n n ＋12(n ∈N *)．21．(本小题满分12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项的和为S n ，且210S 30－(210＋1)·S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项； (2)求{nS n }的前n 项和T n .[解析] (1)解法一：当q ＝1时，S 10＝10a 1，S 20＝20a 1，S 30＝30a 1， ∴210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝210·30a 1－(210＋1)·20a 1＋10a 1 ＝210·30a 1－210·20a 1－20a 1＋10a 1 ＝10a 1·210－10a 1＝10a 1(210－1)， ∵a 1>0，∴10a 1(210－1)≠0.∴q ≠1. 由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0得210· a 11－q 301－q －(210＋1) · a 11－q 201－q ＋a 11－q 101－q＝0，∴210(1－q 30)－(210＋1)·(1－q 20)＋1－q 10＝0， ∴210－210q 30－210＋210q 20－1＋q 20＋1－q 10＝0， 即q 10(q 10－1)(210q 10－1)＝0，∴210q 10－1＝0，∴210q 10＝1，∵q >0，∴q ＝12.∴a n ＝a 1qn －1＝12·(12)n －1＝12n . 解法二：由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，得 210(S 30－S 20)＝S 20－S 10，即210(a 21＋a 22＋…＋a 30)＝a 11＋a 12＋…＋a 20. 可得210·q 10(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝a 11＋a 12＋…＋a 20.∵a n >0，∴210q 10＝1.解得q ＝12.故a n ＝a 1qn －1＝12n ，(n ＝1,2…) (2)因为{a n }是首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，故S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n ，nS n ＝n －n2n .则数列{nS n }的前n 项和T n ＝(1＋2＋…＋n )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋222＋…＋n 2n ， ①T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1. ②①－②，得T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＋n 2n ＋1＝n n ＋14－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＋n 2n ＋1，即T n ＝n n ＋12－2＋12n －1＋n2n . 22．(本小题满分14分)已知f (x )＝3x 2－2x ，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .[解析] (1)由点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上得S n ＝3n 2－2n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1＝1，满足上式． 所以a n ＝6n －5(n ∈N *)． (2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝36n －5[6n ＋1－5]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12[1－17＋17－113＋113－119＋…＋16n －5－16n ＋1]＝12－126n ＋1<12. 因此，使得12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1<m 20(n ∈N *)成立的m 必须且仅须满足12≤m 20，即m ≥10，故满足要求的最小整数m ＝10.。