1 0
x1
y0
11 x 0
y1
(x
y)n1
(x
y)(x
y)n
(x
y
)
k
n 0
n k
x
nk
yk
k
n 0
n k
x
n1k
yk
k
n 0
n k
x
nk
y k 1
n 0
x
n1
n k 1
n k
x
n1k
yk
n1 j0
n j
x
n
j
y
j 1
n n
y
n
1
x n 1
n k 1
n k
x
n1k
yk
n k 1
k
n
1
若 n 是偶数
n 0
n
n 2
n n
若 n 是奇数
n 0
n
n1 2
n
n1 2
n n
证明 设 1 k n
n k
k
n
1
(k
n! k!(n k)!
n! 1)! (n k 1)!
n
k k
1
若n为偶数
当k n 时，n 2k, n k 1 2k k 1 1
2
k
k
当k n 时，n 2k 2, n k 1 2k 2 k 1 1
A
C C
{a1} {a1}
则 f ( A) C 。
若 a1 C 若 a1 C
k
n k
n
n k
11
其中1 k n
证明
k
n k
k n! k !(n k)!
n (n 1)! (k 1)!(n k)!
n
n k
11
n
k 1
k
n k
n
2n1
证法1
其中n 1
n1
k 0
n
k1
2n1
n
1. 不包含 an 的 k-组合，即{a1, a2,…, an1}的 k-组合
2.
，有 包含
an
的 nkk-1个组 。合，由{a1,
a2,…,
an1}的
k1-组合
增加 an 得到，有 所以，
n k
个11。
kn
n
k1
n k
11
Pascal（杨辉）三角形
n0 1
n n
1
n k
nk1
n k
11
kn
n
n
k1
n k
11
n k 1
n k
11
k
(n 1) ! ! (n k 1)
!
(k
(n 1) ! 1) ! (n
k)!
(n 1) ! (n k) (n 1) ! k k !(n k) ! k !(n k) !
k
(n 1) ! !(n k)
(n !
k
k)
k
!
n! (n
k)
!
n k
证法2 设 S = {a1, a2,…, an}。S 的 k-组合由两部分组成。
1
1(1 x)n1dx
1
1dx
0 n 1
n 1 0
0
1 n 1
(1 n
x)n2 2
1 0
1
n
1 1
2n2 1 n2
1
1 0
n k 0
k
1 1
n k
x k 1dx
1
n k 0
(k
1 1)(k
2)
n kxkຫໍສະໝຸດ 20n k 0
(k
1 1)(k
2)
n k
n k 0
(k
1 1)(k
2)
n k
多项式等式的证明法
若次数 n 的多项式 f (x)和 g(x) 在多于 n 个点的 值相等，则它们是相同的多项式。 因为次数 n 的多项式 f (x) g(x) 有多于 n 个根 ，所以是零多项式 0。
r k
r
k1
r k
11
k
r k
r
r k
11
设 k 为正整数，当r 为 k 的整数时，上式成立，
所以r 为任意实数时上式成立。
若 k 0，左式两边均为1，右式两边均为0。
若 k 为负整数，上式两边均为0。
n
k k
1
n 0
n
k
k
k i0
n
i
i
证法1 对 k 进行归纳。
当k
0
时， n
0
1
1
n 0
0 i0
n
i
i
。
设
n
k k
1
k i0
n
i
i
，则
n
k
k 1
2
n
k k
2
k
k
若n为奇数
当k n 1时，n 1 2k, n k 1 2k k 1
2
k
k
当k n 1时，n 1 2k, n k 1 2k k 1
2
k
k
当k n 1时，n 1 2k, n k 1 2k k 1
2
k
k
推论5.4.2
n 0
,
n 1
,
,
n n
中最大者为
n
n 2
nn2 。
n k 0
n k
x
k
其中n 1
两边对 x 求导数
n(1
x)n1
n k 1
k
n k
x
k
1
两边乘 x
nx(1
x)n1
n k 1
k
n k
x
k
两边再对 x 求导数
[nx(1
x) n 1 ]
n k 1
k
n k
xk
[nx(1 x)n1]
(nx)(1 x)n1 nx[(1 x)n1]
n(1 x)n1 n(n 1)x(1 x)n2
第 5 章 二项式系数
5.1 Pascal 公式 5.2 二项式定理 5.3 一些恒等式 5.4 二项式系数的单峰性 5.5 多项式定理 5.6 牛顿二项式定理 5.7 再论偏序集 作业
5.1 Pascal公式
定理5.1.1（ Pascal公式）若1 k n 1，则
证法1
n k
n k 0
(n
1 1)(k
2)
n k
1 1
n k 0
(n
1 1)(n
2)
n k
2 2
(n
1 1)(n
2)
n2 k 0
n
k
2
n
0
2
n
1
2
2n2 1 (n 2) 2n2 n 3 (n 1)(n 2) (n 1)(n 2)
求
k
n 0
(k
1 1)(k
2)
n k
n
k
k
个，
a1, a\ 2
含
a1
不含
a2
的
k
组合有
n
k
k
1
1
个
，
a1, a2 ,, ak , a\ k1
含
a1,
a2 ,,
ak
不含
ak 1
的
k
组合有
n 0
个。
r k 1 k r i
k i0 i
r为任意实数, k为任意整数
若 k 为非负整数，当 r 为非负整数时等式成立，所以 r 为任意实数时等式成立。
n k
n
n
k
n k
nk1
n k
11
(1
x)n
k
n 0
n k
x
k
令
x
1，
得
k
n 0
n k
2n
令
x
1，得
k
n 0
(1)
k
n k
0
奇组合与偶组合各半
O={k | 0 k n , k是奇数}，
E={k | 0 k n , k是偶数}
kO
n k
kE
n k
2n1
证法1
(1
x)n
n k 0
5.4 二项式系数的单峰性
若 s0 s1 … st st+1 … sn ，则称 s0, s1,…,sn 是单峰的。 例如，1, 1；1, 2, 1；1, 3, 3, 1 ；1, 4, 6, 4, 1 都是单 峰的。 1, 2, 1, 2, 1 不是单峰的。
定理5.4.1 n0, 1n, , nn 是单峰序列。
n k 1
k
n k
x k
n k 1
k
2
n k
x
k
1
n(1
x)n1
n(n
1) x(1
x)n2
n k 1
k
2
n k
x
k
1
令 x 1得
n
k 1
k
2
n k
n
2n1
n(n
1)
2n2
n(n
1) 2n2
求
n k 0
(k
1 1)(k
2)
n k
解法1
n k 0
(k
1 1)(k
2)
n k
1. a1 A，a1 B，f ( A) A {a1} B {a1} f (B) 2. a1 A，a1 B，f ( A) A {a1} B {a1} f (B) 3. a1 A，a1 B，f ( A) A {a1} B {a1} f (B) 4. a1 A，a1 B，f ( A) A {a1} B {a1} f (B) 任取 S 的偶组合C，令