假如你再问他 :“学数学快乐吗 ?”他会怎样 回答 ?
如果是为了应付考试而被迫学数学 , 他能快 乐吗 ?学习有困难的学生觉得不快乐. 即使是那些 数学尖子 ,比如参加数学竞赛得了奖 、进了冬令营 的姣姣者 ,也有很多人觉得学数学不快乐 ,甚至咬 牙切齿发誓一辈子不再学数学. 一个“数学尖子”, 假如是在家长和老师的逼迫下 , 为了获得保送上 大学的资格而接受痛苦的训练 , 终于如愿以偿进 了大学的门 ,好不容易从数学的魔掌下解放出来 , 他仇恨数学 、不愿意再学数学 ,难道不是很自然的 吗?
为了应付考试而学数学 ,不可能快乐 !也不可 能学好数学.
假如这个问答再继续下去 : “学数学不快乐 ,干什么快乐呢 ?” “玩 !” “玩什么 ?” “玩足球. ” “那些以玩足球为职业的人快乐吗 ?比如 , 被 媒体吹捧为‘超白金’的足球队员们 , 他们快乐 吗 ?” “不快乐. 他们玩的是‘出线足球’. 输了球 , 出 不了线 , 队员不能发财 , 官员不能升官 , 当然不快 乐. ” 出线足球不快乐. 应试数学不快乐.
数列 玉兔子孙世代传 ,棋盘麦塔上摩天. 坛坛罐罐求堆垛 ,步步为营算连环. 这里讲的都是历史上有关数列的著名例子. “玉兔子孙”讲裴波拉契的兔子数列.“棋盘麦塔” 讲古印度国际象棋发明者向国王要奖赏的故事 : 他所要奖赏的麦子总数是 2 的 0 到 63 次幂所组成 的等比数列的和 ,这样多的麦子堆成的“麦塔”可 以从地球一直堆到太阳上去 ,所以说“棋盘麦塔上 摩天”一点都不夸张 !堆垛和连环都是中国古代 数列的著名例子. 这些历史故事都很有趣 ,当然数 列也就很有趣.
因此 ,我们在下面展示数学的美的时候 , 也从 每章开始的诗讲起.
数学的自然美
我们这套教材的各章是这样开始的 :
2004 年 第 12 期 数学通报
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集合与函数 日落月出花果香 ,物换星移看沧桑. 因果变化多联系 ,安得良策破迷茫. 日出月落 ,花果飘香 ,物换星移 ,沧桑变化 , 多 美的意境 !这些都是现实世界中变化的事物 , 而这 些变化都包含了因果关系. 函数就是描述现实世 界因果关系的一种数学模型 , 是破除迷茫的良策 之一 ,它能不美吗 ?
固然需要分别学习各部分知识 , 但是如果将它们 割裂成互不联系的众多的“知识点”去分别死记 硬背 , 而且以“知识点”越多越光荣 , 那不但大大 加重学生负担 ,而且丢掉了数学的灵魂 ,学到的根 本不是真正的数学.
我们的教材努力体现各个部分之间的有机联 系 ,体现数学的统一美. 而且 , 通过这种联系和统 一 ,使得整个数学内容显得线条清晰 , 结构简洁 , 体现了一种简洁的美 , 让学生有可能体会到华罗 庚所提倡的学习数学“由厚而薄”的绝妙境界.
11 数学的自然美
我们提倡真善美. 作为一门科学 ,数学本身无 所谓善恶 ,善的人可以用它为善 ,恶的人可以用它 作恶. 但作为一门科学 ,数学的最大特点就是它的 真. 如果不真 , 就不称其为科学. 同时 , 数学也是 美 ,并且真本身就包含着美.
数学来源于现实. 学生学习的所有的数学内 容 ,包括概念 、思想 、方法 , 都来源于现实 , 它的美 是从现实世界与生俱来的. 但如果我们的数学教 育 、数学教材将这些数学内容与现实割裂开来 , 只 剩下一堆为应付考试而死记硬背的条文 , 那怎么 能让学生喜欢呢 ?
我们为了达到这个目标作了很大努力. 是否 成功 ,要靠实践来检验.
数学的美
我们的数学教材 ,希望能让学生喜欢数学 , 从 数学中享受快乐. 学生对数学有兴趣了 ,甚至被数 学的魅力迷住了 ,他就会自觉地努力去学习数学. 学习过程中当然会经历艰苦 ,甚至经历痛苦 , 但他 再苦再累也心甘情愿 ,并且在痛苦中享受快乐. 这 样学习 ,才能真正领会数学的本质 , 真正学好数 学 ,学到真正的数学.
靠什么去引起学生对数学的兴趣 ?不是靠数 学以外的东西 ,而是靠数学自身的美 ,自身的魅力.
我们不可能在这里全面论述数学的美. 就本 套教材而言 ,我们着力从以下两方面去展示数学 的美.
本文转载于《高中数学实验通讯》, (内刊) 第 1 辑 ,2004 ,6. 湖南教育出版社.
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2004 年 第 12 期 数学通报
不等式 天不均匀地不平 ,风云变幻大江东. 入水光路改方向 ,露珠圆圆看晶莹. 这首诗的气派也很大. 天地之间 ,到处是不相 等的例子. 天不均匀 ,地不平坦 ,这才是常态. 风云 变幻 ,大江东流 , 万物都在变化 , 变化前后就不相 等. 这里不但举出不等式的具体实例 ,而且指出不 相等才是普遍的 、绝对的 , 而相等反而是特殊的 、 相对的 、近似的. 后两句举的是极大极小值的著名 例子 ,“入水光路改方向”说的是光的折射 , 光在 入水后改变方向 , 发生折射 , 所花的时候反而最 短 .“露珠圆圆”, 球形的露珠在保持体积不变的情 况下表面积最小. 极小值小于其他值 ,这也是不等 式问题.
这首诗也包含了一些哲理 :事物是丰富多彩的 , 有 大有小 ,有平行有垂直 ,并非只有一种形态而排斥 另一种形态. 大自然中处处有风景 , 处处有美 , 就 看你能否体会得到.
解三角形 近测高塔远看山 ,量天度海只等闲. 古有九章勾股法 ,今看三角正余弦. 测塔看山 , 量天度海 , 好大的气派 !可以想象 一个顶天立地的巨人 , 拿着无比巨大的尺子和量 角器在那里量天度海. 我们不必长成那样的巨人. 我们只要利用解三解形的知识就能做到量天度 海. 数学知识可以使我们成为巨人.
数学的统一美
三角函数 东升西落照苍穹 ,影短影长角不同. 昼夜循环潮起伏 ,冬春更替草枯荣. 这里依然是说的自然现象. 太阳每天东升西 落 ,在苍穹中运转. 运转过程中光线照射地面的角
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度变化 ,地面物体的影子的长短也就随之变化. 同
一物体的影子长度与光线角度之间的关系由三角
以下我们分别就各具体章节简要介绍我们怎 样从上述两方面展示数学的美.
为了让学生更能体会到数学的美 , 我们在教 材的语言方面也尽量做了努力 , 努力不板着面孔 讲数学. 恰如其分地应用生动活泼 、年轻人喜闻乐 见的口语讲数学 , 并引导学生体会怎样将生动而 不太严格的口语转化为严谨的数学语言. 并且还 在每章前面用一首诗来概述本章的主要精神 , 为 本章内容的展开营造一种气氛 , 也让学生在一种 令人心旷神怡的人文气氛中享受快乐. 语言是用 来交流思想 、传递信息的 , 自然语言 、文学语言都 是人们喜闻乐见的好形式. 既然我们的数学是讲 给人听的 ,特别是讲给年轻人的 ,为什么不能用年 轻人喜欢的语言而非要用他们讨厌的语言来讲 呢 ?我们讲数学的老师也是人 ,写教材的作者也是 人 ,我们自己在听别人讲话的时候都喜欢听生动 的话而不喜欢听枯燥的官腔 , 那我们为什么又要 将我们讨厌的语言强加给学生 , 强加给这些最富 有青春活力的年轻人呢 ?
2004 年 第 12 期 数学通报
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从数学中享受快乐
李尚志 (中国科学技术大学 230026)
快乐足球与快乐数学
我们的学生 ,从小学到中学再到大学 ,都要学 数学.
不妨去问一个学生 :“你为什么要学数学 ?” 他会怎样回答 ?
假如他实话实说 , 答案很有可能是这样的简 单 “: 学校里要考数学 , 所以我只好学数学. ”他们 的家长会告诫 :“小学生学不好数学就考不上中 学 ,中学生学不好数学就考不上大学 ,那以后就找 不到好的工作. ”
数学研究的两大主要对象是形与数 , 两大主 要部分是几何与代数. 我们努力将形与数的统一 与联系贯穿于所有的章节. 函数与图象是数与形 的统一 ,解析几何中的方程与图象当然也是数与 形的统一. 而且 ,我们还用向量这个工具作为形与 数的桥梁 ,将数与形更加紧密地联系起来. 不但在 讲了向量之后尽量发挥向量的威力来处理三角恒 等变换 、解析几何的问题 ,而且在向量这部分内容 之前引入三角函数的时候 , 通过解决现实世界中 方向和距离与直角坐标的相互转化来引入三角函 数 ,也已经暗中包含了向量的思想 ,埋下了伏笔.
比如 , 你去问学生为什么要学习集合 、函数 、 三角函数 、几何 , 学生怎么回答 ?也许他的回答就 是 “: 书上有这些内容 ,你要考这些内容 ,所以我只 好学. ”
我们的教材 , 努力在一定程度上让学生体会 到这些数学知识是怎样从现实世界中来的 ——— 它们都是为了解决现实世界中的某一方面的问题 而建立的数学模型. 为此 ,我们在引入这些知识的 时候不是从定义出发 ,尽量从现实世界出发 , 从问 题出发. 不是将这些知识“教”给学生 , 而是与学 生一起尝试在解决问题的过程中建立模型 , 包括 引入适当的概念和定义 ,“发明”适当的方法. 因 此 ,在很多章的开始 , 都设立了数学建模栏目 , 这 不是贴标签走形式 , 而是提供给学生一个从现实 出发走向数学的起点. 在学会这些知识的过程中 以及学习之后 , 还要不断地利用这些知识解决更 多的现实问题 ,这又是每章设置的问题探索 、数学 实验等栏目的目的.
指数函数 、对数函数与幂函数 晨雾茫茫碍交通 ,蘑菇核云蔽长空. 化石岁月巧推算 ,文海索句快如风. 光线在晨雾中按指数函数快速衰减 ,所以“晨 雾茫茫碍交通”. 铀核裂变时放出的中子数和能量 都按指数函数快速增长 ,引起核爆炸. 由化石的放 射性碳含量与化石年龄之间的对数函数关系可以 推算出化石的年龄. 将海量数据经过合理编排 , 可 以使搜索资料所需的工作量是数据量的对数函 数 ,当数据大量增长时工作量增长很少 ,因此能做 到“文海索句快如风”. 指数 、对数函数与现实生活 中的这些现象密切相关 , 是我们身边活生生的数 学.
米卢提倡“快乐足球”. 我理解 , 他说的“快乐 足球”就是要热爱足球本身 , 从足球本身享受快 乐. 什么时候不是为了利益玩足球 ,而是为足球本 身的魅力所倾倒了 ,什么时候足球也就能出线了.
数学也是这样. 如果一个学生体会到了数学 的魅力 ,从数学本身享受到了快乐 ,而不是为了考 试学数学 ,他的数学就能学好了 ,考试当然也就能 考好了.