2020年河北省石家庄二中高考数学0.5模数学试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合2{|230}A x x x =--<，2{|log 2}B x x =<，则集合(A B =I ) A ．{|14}x x -<<
B ．{|03}x x <<
C ．{|02}x x <<
D ．{|01}x x <<
2．（5分）设复数z 满足||1z i +=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则( ) A ．22(1)1x y ++=
B ．22(1)1x y -+=
C ．22(1)1x y ++=
D ．22(1)1x y +-=
3．（5分）已知1
2
3a =，1
3
12b log =，21
log 3
c =，则( ) A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>
4．（5分）已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则( )
A ．70x =，275s <
B ．70x =，275s >
C ．70x >，275s <
D ．70x <，275s > 5．（5分）函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0)ω>的最小正周期为π，其图象关于直线3
x π
=对称，则||ϕ的最小值为( ) A ．
12
π
B ．
6
π C ．
56
π D ．
512
π 6．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，⋯⋯，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则
2222132243354201320152014()()()()(a a a a a a a a a a a a -+-+-+⋯⋯-= )
A ．1
B ．0
C ．1007
D ．1006-
7．（5分）已知变量x ，y 满足2
20
x y x y x --⎧⎪
+-⎨⎪⎩………，则2z x y =-+的取值范围为( )
A ．[2-，2]
B ．(,2)-∞-
C ．(-∞，2]
D ．[2，)+∞
8．（5分）已知平面向量,,a b c r r r 均为单位向量，且0a b =r
r g ，则||a b c +-r r r 的取值范围是(
)
A
．1]
B
．
C
．1,1]
D
．
9．（5分）已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原
点，P 是双曲线在第一象限上的点，
直线PO ，2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M ，N ，12||2||PF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为( )
A
B
C
D
10．（5分）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x …时，()x f x e =．若对任意的[x a ∈，1]a +，不等式2()()f x a f x +…
恒成立，则实数a 的最大值是( ) A ．3
2
-
B ．23
-
C ．34
-
D ．2
11．（5分）已知P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，O 为球心，2PA PB PC ===，
90ABC ∠=︒，则三棱锥O ABC -体积的最大值是( )
A
B ．1
C ．
1
2
D
12．（5分）已知函数1
()1
x f x lnx x +=-
-，对于函数()f x 有下述四个结论： （1）函数()f x 在其定义域上为增函数；
（2）对于任意的0a >，1a ≠，都有1
()()f a f a =-成立；
（3）()f x 有且仅有两个零点；
（4）若0()0f x =，则y lnx =在点0(x ，0)lnx 处的切线与x y e =在点00
1
(,)lnx x -处的切线为同一直线．
其中所有正确的结论有( ) A ．（1）（2）（3）
B ．（1）（3）
C ．（2）（3）（4）
D ．（3）（4）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）在8(1)(1)x x -+的展开式中，5x 的系数是 ．
14．（5分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若10a ≠，213a a =，则
10
5
S S = ． 15．（5分）已知点(0,1)A ，(1,0)B ，(,0)C t ，点D 是直线AC 上的动点，若2AD BD „恒成立，则最小正整数t 的值为 ．
16．（5分）F 为抛物线2
4
x y =的焦点，过点F 且倾斜角为150︒的直线l 与抛物线交于A ，
B 两点，1l ，2l 分别是该抛物线在A ，B 两点处的切线，
1l ，2l 相交于点C ，则CA CB =u u u r u u u r
g ，||CF = ．
三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分
17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2cos 2cos A C c a
B b
--=
． （1）求
c
a
的值； （2）若1
cos 4
B =
，2b =，求ABC ∆的面积S ． 18．（12分）四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为a 的菱形，PA ⊥面ABCD ，
120BAD ∠=︒，E ，F 分别是CD ，PC 的中点．
（1）求证：平面AEF ⊥平面PAB ；
（2）M 是PB 上的动点，EM 与平面PAB 所成的最大角为45︒，求二面角F AE D --的余弦值．
19．（12分）已知椭圆2214
x y +=，P 是椭圆的上顶点，过P 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交
椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B ． （1）求PAB ∆面积的最大值；
（2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围．
20．（12分）设函数()(2x a
f x e ax x R =--∈，实数[0a ∈，)+∞， 2.71828e =⋯是自然对数
1.64872)e ⋯．
（Ⅰ）若()0f x …在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若x e lnx m +…
对任意0x >恒成立，求证：实数m 的最大值大于2.3． 21．（12分）某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有*()n n N ∈份血液样本，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中*(k k N ∈且2)k …份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，
因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为(01)p p <<．
（Ⅰ）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．
（Ⅱ）现取其中*(k k N ∈且2)k …份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ
（ⅰ）试运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =； （ⅱ）若
1p =，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检
验的总次数期望值更少，求k 的最大值．
参考数据：20.6931ln ≈，3 1.0986ln ≈，4 1.3863ln ≈，5 1.6094ln ≈，6 1.7918ln ≈ （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选考4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕ
ϕϕ=+⎧⎨=⎩
为参数），以O 为极点，
x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=，射线:3OM π
θ=与圆C 的交点为O 、P ，
与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． [选考4-5：不等式选讲]
23．已知定义域在R 上的函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为a ． （1）求a 的值；。