武汉二中2010－2011学年上学期高一年级期末考试数学试卷命题教师：徐远景 考试时间：2011年1月20日上午09：00－11：00一、选择题.(共10小题, 每题4个选项中, 有且只有一个最佳答案, 每小题5分, 共50分)1．函数2()lg(31)f x x =++的定义域为( ) A ．11(,)33-B ．1(,1)3-C ．1(,)3-+∞D ．1(,)3-∞-2．已知向量,a b 不共线, 且AB a b λ=+, AC a b μ=+, 则点A 、B 、C 三点共线应满足( )A ．2λμ+=B ．1λμ-=C ．1λμ=-D ．1λμ=3．给出的下列命题：(1)cos47cos13cos43sin13︒︒-︒︒ (2)a b b c =, 则0b =或a c =；(3)函数()sin(sin cos )f x x x =+的最大值为(4)函数cos()(0,0)y A x A ωϕω=+>>是奇函数, 则2()2k k z πϕπ=+∈.其中正确的命个数为( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．函数2()3log ()xf x x =--的零点所在区间是( )A ．5(,2)2--B ．(－2, －1)C ．1(1,)2--D ．(1, 2)5．设向量11(1,0),(,)22a b ==, 则有( )A ．||=||a bB ．22a b =C ．()a b b -⊥D ．//a b6．已知奇函数()f x 在[－1, 0]上单调递减, 又,αβ为锐角三角的两内角, 则有( ) A ．(sin sin )(cos cos )f f αβαβ-≥- B ．(sin cos )(cos sin )f f αβαβ->- C ．(sin cos )(cos sin )f f αβαβ-≥-D ．(sin cos )(cos sin )f f αβαβ-<-7．已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB OC r r ααββ===, 且O 为△ABC 的重心, 则cos()r α-的值为( ) A ．－1B ．12-C ．12D ．不能确定8．已知方程3sin cos 0x x m ++=在[0,]2π内有两个相异的实根,αβ, 则αβ+为( ) A ．3πB ．2π C ．23π D ．与m 有关9．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上是增函数, 且(1)(2)f ax f x +≤-对任意1[,1]2x ∈都成立, 则实数a 的取值范围为( )A ．[－2, 0]B ．[－3, －1]C ．[－5, 1]D ．[2,1)-10．点O 为非等边△ABC 的外心, P 为平面ABC 内一点, 且有OA OB OC OP ++=, 则点P 为△ABC 的( ) A ．内心 B ．垂心 C ．外心D ．重心二、填空题. (共5小题,每题5分,共25分) 11．要得到cos(3)4y x π=-的图象, 则需要将sin(3)4y x π=-的图象向左平移的距离最短的单位为 .12．向量(cos 25,sin 25),(sin 20,cos 20)a b =︒︒=︒︒, 若m R ∈, 则||a mb +的最小值为.13．已知函数9()l o g (8)af x x x=+-在[1,)+∞上为增函数, 则实数a 的取值范围为 .14．已知函数()f x 是以2为周期的偶函数, 且当(0,1)x ∈时()21xf x =-, 则2(log 12)f 的值为 .15．设函数()f x 的定义域为D, 若存在非零实数t, 使得对于任意()x M M D ∈⊆有x t D +∈ 且()()f x t f x +≥, 则称()f x 在M 上的t 给力函数, 若定义域为[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 给力函数, 则m 的取值范围为 .三、解答题.（请写出必要的文字说明和推理演算过程） 16．(12分)已知tan ,tan αβ为方程2330x x --=两根.(1)求tan()αβ+的值；(2)求22sin ()3sin(22)3cos ()αβαβαβ+-+-+的值.17．(12分)已知向量(sin(),2),(1,cos())(0,0)4a xb x πωϕωϕωϕ=+=+><<, 函数()()()f x a b a b =+-的图象一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1, 且其图象过点7(1,)2A . (1)求()f x 的解析式；(2)当[1,1]x ∈-时, 求()f x 的单调区间.18．(12分)在△ABC 中, 若I 是△ABC 的内心, AI 的延长线交BC 于D, 则有AB BDAC DC=称之为三角形的角平分线定理, 现已知AC ＝2, BC ＝3, AB ＝4, 且AI xBC y AC =+, 求实数x 及y 的值.θ19．(12分)如图, 现要在一块半径为1m, 圆心角为3π的扇形纸报AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ, 使点P 在弧AB 上, 点Q 在OA 上, 点M 、N 在OB 上, 设∠BOP ＝θ, 平行四边形MNPQ 的面积为S.(1)求S 关于θ的函数关系式； (2)求S 的最大值及相应的θ角.20．(13分)在辽阔的草原上, 一骑士从某一出发点沿着与正东方向逆时针成(0)2πθθ<<的方向前进m 千米后, 再按逆时针方向偏转θ角方向再前进m 千米, 如此进行下去, 正当他前进的路程为3m 千米时, 恰好处在出发点正北方向. (1)求θ的值；(2)他能回到原出发地吗？至少需多少路程？21．(14分)已知定义在R 上函数12()2xx b f x a +-=+是奇函数. (1)对于任意t R ∈不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立, 求k 的取值范围.(2)若对于任意实数，m ，x ，25()22f x m tm t <+++恒成立，求t 的取值范围. (3)若()g x 是定义在R 上周期为2的奇函数，且当(1,1)x ∈-时，()()g x f x x =-，求()0g x =的所有解武汉二中2010－2011学年上学期高一年级期末考试数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题 11、6π 12、213、[1,9)- 14、1315、2m ≥三、解答题 16、（1）解由事达定理知tan tan 3tan tan 3αβαβ+=⎧⎨=-⎩·····（2分）又tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-·····（4分） ∴33tan()134αβ+==+·····（6分）（2）解：原式＝22221cos ()[tan ()tan()3][tan ()1tan ()αβαβαβαβαβ++-+-=+-++ 6tan()3]αβ+-·····（8分）2213331()[()63]444=+-⨯-11125=-·····（12分）17、解：（1）22()()()f x a b a b a b =+-=- ＝22sin ()41cos ()wx y wx ϕ++--+3cos(22)wx ϕ=-+·····（2分）依题知：714= ∴4T = 即24200π=∴4w π=又过点7(1,)2A∴1cos(2)22πϕ+=- ∵2(0,)4ϕ∈ ∴26πϕ=·····（4分） ∴()3cos()26f x x ππ=-+·····（6分）（2）当[1,1]x ∈-时，2[,]2633x ππππ+∈- 当[,0]263x πππ+∈-时即1[1,]3x ∈-- ()f x 单减 ·····（9分）同样 当1[,1]3x ∈-时()f x 单增·····（12分）18、解：由三角形角平分线定理知 BD ＝2，BC ＝1由B 、D 、C 三点共线可知1233AD AB AC =+·····（4分）又I 为内心422BA AI BD ID ===可知23AI AD =＝2499AB AC + ① ·····（7分）又AI xBC y AC =+()x AC AB y AC =-+＝()xAB x y AC -++ ②·····（10分）由②可得2949x x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2923x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ·····（12分） 19、解（1）分别过P 、Q 作PD ⊥OB 于D ，QE ⊥OB 于E ，则QEDP 为矩形 ·····（2分）由扇事半径为1cm sin PD θ= cos OD θ=在Rt △OEQ中OE = MN ＝OD －OE＝cos θθ·····（4分） 3(cos sin )sin S MNPD θθ==-2sin cos (0,)3πθθθθ=∈ ·····（6分） （2）2)6S θ=+ ·····（9分）252(,)666ππθ+∈1sin(2)(,1]62πθ+∈当26θ=时 2m a x )S m·····（12分）20、解（1）如图所示OC OA AB BC =++ ① ·····（1分）(cos sin ) (cos2sin 2)OA m m AB m m θθθθ== (cos3sin3)BC m m θθ=(cos cos2cos3sin sin 2sin3)OC m θθθθθθ=++++·····（4分）当点C 在正北方向即cos cos2cos30θθθ++=cos(2)cos2cos(2)0θθθθθ-+++= 2cos cos2cos20θθθ+=又2(0,)2θ∈ ∴2cos 10θ+>∴cos20θ=∴4πθ=·····（7分） （2）能·····（9分）∵4πθ=∴以O ，A ，B ，C …...为顶点可作一个正八边形∴至少需要8m 千米回到原出发点 ·····（13分） 说明：①②利用向量平移构成以O 为起点终点在以O 为圆心 为半径的圆上也可给分。