0 u5 x5 0 u5 x5
u5 4 x5 关于 u5 求导，知其导数大于零，所以 u5 4 x5 在 u5 等于 x5 处取得最大值，即 u5 x5 时 v5 ( x5 ) 5 x5
2.k=4 时，由（1）、（ 3）式得
v4 ( x4 ) max {5u4 4( x4 u4 ) v5 ( x5 )}
x2 0.9 x1 0.1u1 900 x3 0.9 x2 0.1u2 810 x4 0.9 x3 0.1u3 648
x5 0.9 x4 0.1u4 518.4
注： x5 518.4 台中的 0.4 台应理解为有一台机器只能使用 0.4 年将报废。 总结以上得：各年应安排生产两种产品的机器数如表 5.4.1. 表 5.4.1 年度 1 项目 生产 A 产品的机器数（台） 生产 B 产品的机器数（台） 从当年开始往后各年的利润总和（元） 0 1000 17482 0 900 13482 810 0 9882 648 0 5832 518.4 0 2592 2 3 4 5
v=subs(v,x,temp); clear x u syms x u temp=0.9*x-0.1*u; v=subs(v); k=k-1; i=i+1; end x1(1)=1000; A(1)=0; B(1)=1000; for i=2:5 if u1(i-1)==x u1(i-1)=x1(i-1); x1(i)=0.9*x1(i-1)-0.1*u1(i-1); A(i)=x1(i); B(i)=0; else A(i)=0; x1(i)=0.9*x1(i-1); B(i)=x1(i); end
二、Matlab 源程序：
clear all syms x u temp v=0; k=5; i=1; while k>=1 f=5*u+4*(x-u)+v; if subs(diff(f,u))>0 u=x; else u=0; end u1(k)=u; v=subs(f); vmax(k)=v; if k==1 break end
v1 ( x1 ) max {5u1 4( x1 u1 ) v2 ( x2 )} max {0.498u1 17.482 x1} 17.482 x1
0 u1 x1 0 u1 x1
同理当 u1 0 时， v1 ( x1 ) 取得最大值 17.482 x1 .因为 x1 1000 所以由（1）式得
v2 ( x2 ) max {5u2 4( x2 u2 ) v3 ( x3 )} max {0.22u2 14.98x2 } 14.98x2
0 u 2 x2 0 u2 x2
即 u2 0 时， v2 ( x2 ) 取得最大值 14.98 x2 . 5.k=1 时，
end for i=1:5 fprintf(' 第 %d 年 生 产 A,B 产 品 的 机 器 数 分 别 为 %3.1f ( 台 ) \n',i,A(i),B(i)) end fprintf('\n \n') for i=1:5 %3.1f( 台 )
v=subs(Βιβλιοθήκη max(i),x1(i)); fprintf('从第 %d 年开始往后各年的最大利润之和为 %3.1f \n',i,v) end 输出结果： 第 1 年生产 A,B 产品的机器数分别为 0.0 (台) 1000.0(台) 第 2 年生产 A,B 产品的机器数分别为 0.0 (台) 900.0(台) 第 3 年生产 A,B 产品的机器数分别为 0.0 (台) 810.0(台) 第 4 年生产 A,B 产品的机器数分别为 648.0 (台) 第 5 年生产 A,B 产品的机器数分别为 518.4 (台) 0.0(台) 0.0(台)
从第 1 年开始往后各年的最大利润之和为 17482.0 从第 2 年开始往后各年的最大利润之和为 13482.0 从第 3 年开始往后各年的最大利润之和为 9882.0 从第 4 年开始往后各年的最大利润之和为 5832.0 从第 5 年开始往后各年的最大利润之和为 2592.0
三、结果分析
这是一个很不错的数学实验素材， 它用一般人最关心的问题——利润最大， 来引发读者 探寻如何才能达到最优，在此基础上，使读者充分了解数学在实际工作中的重要作用，激发 起学习数学的兴趣。 由结果看出，这种资源分配方式出乎许多人意料之外，它不是按一般人的想法，先投入 大量机器生产 A 产品而盲目追逐“高”利润，而是在前几年先保护机器，然后再投入所有的 力量去获得最大利润，这是一个优秀的企业管理者应该具有的素质。 这个结果也启迪我们无论办啥事，都不要单凭主观想象，而要以科学的计算为依据。 这类问题及思想同样适用于如下问题：最短路径、最少代价等。
在以上假设的基础上，则知： 第 k+1 年初完好的机器数=（1-生产 A 种产品机器的年折损率（20%） ） ×第 k 年安排生 产 A 种产品的机器数+（1-生产 B 种产品机器的年折损率（10%） ） ×第 k 年安排生产 B 种产 品的机器数。即
xk 1 0.8uk 0.9( xk uk ) 0.9 xk 0.1uk
实验 3 资源的最优配置策略
一、问题分析与建立模型
问题可分为 5 个阶段（k=1，2，3，4，5）. 第 k 个阶段——第 k 年初到第 k+1 年初 令 xk ——第 k 年初完好机器数
uk ——第 k 年安排生产 A 种产品的机器数
则显然有
xk uk ——第 k 年安排生产 B 种产品的机器数，且 0 uk xk
又令 L( xk , uk ) ——表示第 k 年的纯收入，
（1）
vk ( xk ) ——第 k 年初往后各年的最大利润之和，
显然
v6 ( x6 ) 0
则
（2）
vk ( xk ) max {L( xk , uk ) vk 1 ( xk 1 )}
0 uk xk
max {5uk 4( xk 1 uk ) vk 1 ( xk 1 )}
v4 ( x4 ) 9 x4
3.k=3 时，
v3 ( x3 ) max {5u3 4( x3 u3 ) v4 ( x4 )} max {0.1u3 12.1x3} 12.2 x3
0 u 3 x 3 0 u3 x3
即 u3 x3 时， v3 ( x3 ) 取得最大值 12.2 x3 . 4.k=2 时，
0 u 4 x4
max {u4 4 x4 5 x5 } max {u4 4 x4 5(0.9 x4 0.1u4 )}
0 u4 x4 0 u 4 x 4
max {8.5 x4 0.5u4 }
0 u4 x4
同样对 8.5 x4 0.5u4 关于 u4 求导，知其导数大于零，所以 8.5 x4 0.5u4 在 u4 等于 x4 处取得最大值，即 u4 x4 时
0 uk xk
（3）
其中 xk 1 是使得 vk 1 取得最大时的状态，即有
xk 1 0.9 xk 0.1uk
1.k=5 时，由（1）、（ 3）式得
v5 ( x5 ) max {5u5 4( x5 u5 ) v6 ( x6 )} max {u5 4 x5 }