fx 0 fx 0 x fx 0 fx 0 x d x 0 f
或 f x 0 x f x 0 f x 0 x f x 0 d x 0
.
15
第三章 中值定理和导数的应用
Cauchy 中值定理
F(x)x
洛必达法则
型 f g
Lagrange 中值定理
f(a)f(b)
高等数学第一册 期末总复习
电子科技大学应用数学学院
.
1
1、两个重要极限
(1) lim six n1 x 0 x
应 : l用 im siu (n x ) 1 . u (x ) 0u (x )
(2) li(m 11)xe x x
u (x ) 0
1
lim (1x)x e
x0
1
应用 : lim(1u(x))u(x) e
.
14
5. 应用
， 1 导 f x 是 数 y f 函 x 变 y 关 数 量 于 x 的自
在几何 yf上 x的 是 切 曲 。线 线 斜率
2 st是直线运动的，位 则 s移 t 函 vt数 是它
速度 ，而 函 vt 数 stat是它的 。加
3 近似:计算fx在 x0点可 , 导
则有
： f x 可 f x 导 f x
2 . 微 若 y f ( x 0 分 x ) f ( x 0 ) A x o ( x )
， 则 y 称 f ( x ) 在 x 0 函 可 点 记 d 数 微 x x y 0 A x
.
11
定理
函f数 (x)在x点 0可微的充要条 f(x)件 在 x 0 处 点 ,且 可 A f( x 0 ) 导 .
函f(数 x)在 x0处连 是 续函 f(x)在 数 x0处 既左连续 . 又右连续
定理 初等函数在其定义区间内都是连续的.
.
5
3、间断点的分类
第y
一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y
o
x0
y
o
.
跳跃型 x
x 振荡型
6
三 闭区间上连续 函数的性质
定理1(最大值和最小值定理) 闭区间上的连续函数
由： 方 F x ,程 y0求导 d d,x d y d数 22 yx
两边 x求 对 ,解 导d d出 ,x yd d22 y x.
.
13
(2)参数函数求导法则
xt yt
yy(x)
dy (t) dx (t)
dd2x2yddt(((tt)))
dt dx
(t)(t)(t)(t). 3(t)
Rolle 定理
n0
Taylor 中值定理
常用的 泰勒公式
.
0型 0 型
00,1,0型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
导数的应用 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法.
16
1、中值定理
， (1)费马(Fermat)引理
在 U x 0 , 上 若 f x f x 0 或 f x f x 0 , fx0存，在 则 fx 0 0
~ c ~ c
常用的等价无穷小替换
sin x
arcsin x
tan x
arctan x
ex 1
ln1
x
~ x x 0
x2 1cosx ~
2
(1x)1~x
.
4
二 函数的连续性 1、连续的定义
lim f(x)f(x0)
x x0
2、单侧连续
左连 x l x i0 m f( 续 x )f(x 0 )f(x 0 ) 右连 x l x i0 m f( 续 x )f(x 0 )f(x 0 )
u(x)0
.
2
等价无穷小替换
设 ~ , ~ 且 li m 存 ,则 l在 i m li m .
应用 (如果下列各极限存在)
1.若 ~,
则
li m l i m 或li m li m
.
3
2 .若 lim c 0
则 li m li c m或 li m l i c m
C yf(x)
o a 1
.
2 b x
18
(3)、拉格朗日中值定理
如果函数 f ( ຫໍສະໝຸດ )(1)在闭区间[a, b]上连续,
(2)在开区间(a, b)内可导,
那末在(a, b)内至少有一点(a b)，
fx00
x0
.
17
(2)、罗尔中值定理 如果函数 f ( x)
(1)在闭区间[a, b]上连续, (2)在开区间(a, b)内可导, (3)在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b),
那末在(a, b)内至少有一点(a b),
使得函数 f ( x)在该点的导数等于零，
y
即 f '() 0
d yf(x)dx
充分必要关系：
函 f x 可 数 可 微 连 导 有 续 极
.
12
3. 高阶导数
函数 f(x)的n阶导数 dn df(n xx)f(n)(x)dd (fnx 1)
x,ax,sinx,coxs,lnx,1 的n阶导数公式
x
uxvxn 的莱布尼兹公式
4.(1)隐函数求导法则
在a, b内至少存在一点，
使得
f ( ) C (a b).
y
M
yf(x)
C
a
o
x1 1 2 3 x2 b
x
m.
9
第二章 导数与微分
关 系
d y y d y y d x y d o y ( x ) dx
导数
y lim x0 x
基本公式 高阶导数
微分
dyyx
求导法则
.
10
1 . fx x l i0 m fx x x fx 左 f 导 x x l i 数 0 m fx x x fx 右 f 导 x x l i 数 0 m fx x x fx
即至少有一点(实根) (a b)，使得 f () 0.
y ao
yf(x) 1 2 3
bx
.
8
定理 3(介值定理) 设函数 f ( x)在闭区间 a, b 上连续，
并且不是常数, 函数的最大最小值分别为:
maf(xx)M ,
axb
mifn(x)m,
axb
那末，对于m 与M 之间的任意一个数 C ，
一定有最大值和最小值. f(x 1 ) mf im n f(x 2 ) mf a M x
y
M
yf(x)
a
o
x1
m
x2 b x
推论(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界.
.
7
定理 2 (零点定理)
且 f (a)与 f (b)异号(即 f (a) f (b) 0),
那么在开区间a,b内至少有函数 f (x)的一个零点,