动态几何问题 一、动态几何问题涉及的几种情况 动态几何问题就其运动对象而言，有： 1、点动（有单动点型、多动点型）. 2、线动（主要有线平移型、旋转型）。线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生形动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解. 3、形动（就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动） 二、解决动态几何问题的基本思考策略与分析方法： 动态型问题综合了代数、几何中较多的知识点,解答时要特别注意以下七点: 1、把握运动变化的形式及过程； 2、思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出的几何量； 3、动中取静：（最重要的一点） 要善于在“动”中取“静”（让图形和各个几何量都“静”下来），抓住变化中的“不变量”和不变关系为“向导”，求出相关的常量或者以含有变量的代数式表示相关的几何量; 4、找等量关系：利用面积关系、相似三角形的性质、勾股定理、特殊图形等的几何性质及相互关系，找出基本的等量关系式; 5、列方程：将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程或函数模型； (某些几何元素的变化会带来其它几何量的变化，所以在求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解。在解决有关特殊点、特殊值、特殊位置关系问题时常结合图形建立方程模型求解) 6、是否分类讨论： 将变化的几何元素按题目指定的运动路径运动一遍，从动态的角度去分析观察可能出现的情况，看图形的形状是否改变，或图形的有关几何量的计算方法是否改变，以明确是否需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决， 7、确定变化分界点： 若需分类讨论，要以运动到达的特殊点为分界点，画出与之对应情况相吻合的图形，找到情况发生改变的时刻，确定变化的范围分类求解。 例：如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形△RQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线ι上，当C、Q两点重合时开始，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR
重合部分的面积为Scm2. .解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值； （2）当t=5秒时，求S的值； （3）当5秒≤t≤8秒时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.
分析：当等腰△PQR从C、Q两点重合开始，以1cm/秒的速度沿直线ι向左匀速运动时，正方形ABCD与等腰△PQR重合部分图形的形状在改变，因此，我们需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决。运动过程中有四个特殊位置点,它们分别是点B、C、R和等腰△PQR底边的中点E,这四个特殊位置点就是分类讨论问题的“分界点”. 因为正方形ABCD的边长为5cm，等腰三角形△RQR的底边QR=8cm， （1）所以当t≤4秒时，QE逐渐地与与BC完全重合，则S是△QCG的面积， 所以，当t=3秒时，，S是△QCG的面积（如图一的“静态”）； （2）当4秒≤t≤5秒时，即在点E落在线段上到点Q与点B重合，S是四边形QCGP的面积（如图二的“静态”）； （3）当5秒≤t≤8秒时，点Q、R都在线段BC外，点E在BC上，S是一个五边形BCGPH的面积（如图三的“静态”）.
ι A B Q C R P D
C B （
ι
A Q R P D G
E (图一) R ι
A B C D
（Q） P
E G
(图二) 即1、运动规律；2、思考初始；3、动中取静；4、找等量关系; 5、列方程；6、是否分类讨论：7、确定分界点。 三、典型例题 （2006重庆）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线
CD把这张纸片剪成11ACD和22BCD两个三角形（如图2所示）.将纸片11ACD沿直线2
DB
（AB）方向平移（点12,,,ADDB始终在同一直线上），当点1D于点B重合时，停止平移.在平移过程中，11CD与2BC交于点E,1AC与222CDBC、分别交于点F、P. (1) 当11ACD平移到如图3所示的位置时，猜想图中的1DE与2DF的数量关系，并证明你的猜想； (2) 设平移距离21DD为x，11ACD与22BCD重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围； （3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原ABC面积的14. 若存在，求x的值；若不存在，请说明理由. C
BDA图1 图3
C2
D2
C1
BD1A图2
P E F
A D 1 B D 2
C 1
C
2
ι A B C D P
Q R E
H G
(图三) 分析：1、把握运动变化的形式及过程： 题目条件：将11ACD沿直线2DB（AB）方向平移（点12,,,ADDB始终在同一直线上），当点1D于点B重合时，停止平移. 所以这是一个图形的平移运动 2、思考初始；找出初始位置时某些几何元素的数量和关系： （1）因为在RtABC中，8,6ACBC，所以由勾股定理，得10.AB （2）因为90ACB，CD是斜边上的中线，所以，DCDADB，即11222CDCDBDAD.
（3）1CA，1290CC. 第1问：“动”中取“静”：让图形和各个几何量都“静”下来。 因为是平移，所以1122CDCD∥，所以12CAFD.1CA 所以2AFDA，所以，22ADDF .同理：11BDDE. 又因为12ADBD，所以21ADBD.所以12DEDF 第2问：（1）是求变量之间的关系，则建立函数模型。 （2）按题目指定的运动路径运动一遍，重叠部分图形的形状不发生改变，则不需要分类讨论解决。 （3）找等量关系式：用面积割补法知道2212221126(5)22525BCDBEDFCPABCySSSSxx （4）“动”中取“静”，求出相关的常量或者以含有自变量的代数式表示相关的几何量。 为便于求其面积，注意选择三角形的底和高。三角形BD1E的底为BD1，需求高。需求直角三角形C2OF的底和高。 我们视自变量为“不变量”，以21DDx为“向导”去求出三角形的底和高。 （A）、22BCD的面积等于ABC面积的一半，等于12. （B）、又因为21DDx，所以11225DEBDDFADx，所以21CFCEx， 由1122CDCD∥得221BCDBED∽， 又ABC的AB边上的高，为245.设1BED的1BD边上的高为h， 所以52455hx.
所以24(5)25xh.121112(5)225BEDSBDhx （C）、又因为1290CC，所以290FPC. 在直角三角形PFC2中，C2F=X， 又因为2CB，43sin,cos55BB. 所以234,55PCxPFx ，22216225FCPSPCPFx 而2212221126(5)22525BCDBEDFCPABCySSSSxx 所以21824(05)255yxxx 第3问：是求特殊值问题，则建立方程模型求解； 存在. 当14ABCyS时，即218246255xx 整理，得2320250.xx解得，125,53xx. 即当53x或5x时，重叠部分的面积等于原ABC面积的14.
[解析] （1）
12DEDF.因为1122CDCD∥，所以12CAFD
.
又因为90ACB，CD是斜边上的中线， 所以，DCDADB，即112221CDCDBDAD 所以，1CA，所以2AFDA 所以，22ADDF.同理：11BDDE. 又因为12ADBD，所以21ADBD.所以12DEDF （2）因为在RtABC中，8,6ACBC，所以由勾股定理，得10.AB 即1211225ADBDCDCD 又因为21DDx，所以11225DEBDDFADx.所以21CFCEx 在22BCD中，2C到2BD的距离就是ABC的AB边上的高，为245. 设1BED的1BD边上的高为h，由探究，得221BCDBED∽，所以52455hx.
所以24(5)25xh.121112(5)225BEDSBDhx 又因为1290CC，所以290FPC. 又因为2CB，43sin,cos55BB. 所以234,55PCxPFx ，22216225FCPSPCPFx 而2212221126(5)22525BCDBEDFCPABCySSSSxx 所以21824(05)255yxxx (3) 存在. 当14ABCyS时，即218246255xx 整理，得2320250.xx解得，125,53xx. 即当53x或5x时，重叠部分的面积等于原ABC面积的14.
（2006山东青岛）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点
A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O是△EFG斜边上的中点． 如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）． （1）当x为何值时，OP∥AC ? （2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围． （3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． （参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456 或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）