数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（10）次。

3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( 3 )，b =（3 ），c =（ 1 ）。

4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)(( 1 )，∑==nk k jk x lx 0)(( j x )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( 324++x x )。

10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ 22,22- ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ 0>ii l ）条件时，这种分解是唯一的。

二 选择题（每题2分） 3、有下列数表 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（ （1） ）。

（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次 三、 2、（8分）已知方程组f AX =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4114334A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243024f（1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。

（2） 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。

2、（15分）解：001302.0768181121)(12][022==⨯⨯≤''--=e f h a b f R T η])()(2)([2)8(71∑=++=k k b f x f a f hT ]36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[161++++++⨯+=6329434.0=五、1、（15分）取步长1.0=h ，求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)0(1y y dxdy用改进的欧拉法求)1.0(y 的值；用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。

五、1、（15分）解：改进的欧拉法：⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+=+=++++095.0905.0)],(),([21.09.0),()0(111)0(1n n n n n n n n n n n n y y x f y x f h y y y y x hf y y 所以1)1.0(1==y y ；经典的四阶龙格—库塔法：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++==++++=+),()2,2()2,2(),(]22[6342312143211hk y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k k k k k hy y n n n n n n n n n n 04321====k k k k ，所以1)1.0(1==y y 。

数值计算方法试题二一、判断题：（共16分，每小题２分）１、若A 是n n ⨯阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵U ，使LU A =唯一成立。

（ ）２、当8≥n 时，Newton －cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。

（ ） 1、（ Ⅹ ） 2、（ ∨ ） 3、（ Ⅹ ） 4、（ ∨ ）3、形如)()(1i ni i ba x f A dx x f ∑⎰=≈的高斯（Gauss ）型求积公式具有最高代数精确度的次数为12+n 。

（ ）４、矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210111012A 的２－范数2A ＝９。

（ ） 5、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a A 000002，则对任意实数0≠a ，方程组b Ax =都是病态的。

（用∞⋅） （ ） 6、设n n R A ⨯∈，nn RQ ⨯∈，且有I Q Q T=（单位阵），则有22QA A =。

7、区间[]b a ,上关于权函数)(x W 的直交多项式是存在的，且唯一。

8、对矩阵A 作如下的Doolittle 分解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6001032211012001542774322b a A ，则b a ,的值分别为=a 2，=b 2。

（ ） 5、（ Ⅹ ） 6、（ ∨ ）7、（ Ⅹ ） 8、（ Ⅹ ）二、填空题：（共20分，每小题2分） ３、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到_______二___阶的连续导数。

4、向量TX )2,1(-=,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1327A ，则=1AX _16 __，=∞)(A cond _____90______。

5、为使两点的数值求积公式：⎰-+≈1110)()()(x f x f dx x f 具有最高的代数精确度，则其求积基点应为=1x _31,31-，=2x __________。

6、设n n R A ⨯∈，A A T =，则)(A ρ（谱半径）_=_2A 。

（此处填小于、大于、等于）7、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2141021A ，则=∞→k k A lim ___0_。

数值计算方法试题三一、（24分）填空题(1) (2分)改变函数f x x x ()=+-1 (x >>1)的形式，使计算结果较精确 ()x x x f ++=11(2) (2分)若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10次。

(3) (2分)设()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=212221x x x x x f ，则()=x f ' ⎪⎪⎭⎫⎝⎛122122x x x x(4)(3分)设()⎩⎨⎧≤≤+++≤≤=21,10,2233x c bx ax x x x x S 是3次样条函数，则 a= , b= , c= 。

(4) (3分) 3 -3 1 (5) (3分)若用复化梯形公式计算⎰1dxe x ，要求误差不超过610-，利用余项公式估计，至少用 477 个求积节点。

(6) (6分)写出求解方程组⎩⎨⎧=+-=+24.016.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭代公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--64.006.10 ，迭代矩阵为 ， 此迭代法是否收敛 收敛 。

(7) (4分)设A =⎛⎝ ⎫⎭⎪5443,则=∞A 9 ，()Cond ∞=A 91 。

(8) (2分)若用Euler 法求解初值问题()10,10'=-=y y y ，为保证算法的绝对稳定，则步长h 的取值范围为 h<0.2 。

二. (64分)(2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。

(4) (10分)用复化Simpson 公式计算积分()⎰=10sin dxx x I 的近似值，要求误差限为5105.0-⨯。

()()0.9461458812140611=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=f f f S()()0.94608693143421241401212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=f f f f f S 5-12210933.0151⨯=-≈-S S S I 9460869.02=≈S I 或利用余项：()()-+-+-==!9!7!5!31sin 8642x x x x x x x f () -⨯+⨯-=!49!275142)4(x x x f()51)4(≤x f ()()54)4(45105.05288012880-⨯≤⨯≤-=n f n a b Rη，2≥n ， =≈2S I(5) (10分)用Gauss 列主元消去法解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++276234532424321321321x x x x x x x x x(6) (8分)求方程组 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12511213121x x 的最小二乘解。

(7) (8分)已知常微分方程的初值问题：⎩⎨⎧=≤≤=2)1(2.11,y x y x dx dy用改进的Euler 方法计算y (.)12的近似值，取步长2.0=h 。

三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)(1) (1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：()151=p ，()201'=p ，()301''=p ，()572=p ，()722'=p三. (12分) (1) 差分表：1 1 12 2 1515155757202042721522307 8 1()()()()()()4323322345211711512015x x x x x x x x x x p ++++=--+-+-+-+=其他方法：设()()()()()b ax x x x x p +-+-+-+=32111512015令()572=p ，()722'=p ，求出a 和b。