u(αx+(1−α) y)≥αu(x)+(1−α)u(y) 再考虑x和y的关系。 综合以上α，以及x，y的取值情况。可知满足定 义7.1的条件，易得：u是凹的
2020/9/23
4
《金融经济学》--王江
7.1 边际效用递减(续)
定理7.2:如果凹函数u(·)还是二阶可微的，那 么u” ≤0 证明：令x=z-δ,y=z+δ以及α=1/2,那么,u是 凹的意味着u(z) ≥1/2[u(z-δ)+u(z+δ)],即：
等价 1.6/10
B
4/20 0/0
2/10 1/10
2020/9/23
13
《金融经济学》--王江
7.3 绝对风险厌恶(续)
风险厌恶的参与者偏好于确定性支付而不是不确 定性支付。这种偏好的强度可以用风险溢价来衡 量，其定义如下：
定义7.4: 一个参与者参与一个公平赌博所要求的 风险溢价π，定义为
E[u(w+ +πˆ )]=u(w) 对于相同的风险而言，πˆ 和π不一定相同。但
是我们将看到，对于小风险而言，他们是一样 的。
0 ≥ 1{u[(z)u(z)][u(z)u(z)]}
2
2
如果u是二阶可微的，我们可以在上面的不等式 中取极限δ→0，从而得到u” ≤0。
2020/9/23
5
《金融经济学》--王江
7.1 边际效用递减(续)
现在我们来考察6.4式的期望效用函数为凹性的经 济含义，u(·)表示的是消费的直接效用，它的一 阶导数u′(·)表示的是消费的边际效用。不满足性 要求u′(·)>0，即边际效用始终为正。偏好的凸性
这节重点讨论风险厌恶的定义以及它与效用函数 的关系。
2020/9/23
7
《金融经济学》--王江
7.2 风险厌恶的定义(续)
定义7.2: 记 为一个不确定的支付。如果 E[ ]=0，则称 为一个公平赌博。
定义7.3: 如果满足 则称效用函数u(·)的参与者是(严格)风险厌恶的
风险厌恶的定义十分清楚。在期望值相同 （⇔E(w+ )=E(w)）的不确定性支付和确定性 支付之间，一个风险厌恶的参与者总是选择后者。
我们立即可以得到下面的定理： 定理7.1:如果凸的连续偏好由(6.4)式中的期望效 用函数表示，那么相应的效用函数u(·)是凹的。
2020/9/23
3
《金融经济学》--王江
7.1 边际效用递减(续)
证明： 我们只考虑如下的消费计划：[c0;c1]=[x;0]。 ∀x>y以及α∈(0,1)，偏好的凸性要求： u(αx+(1−α) y)>αu(x)+(1−α)u(y) 如果我们用不等式代替严格不等式，显然成立 而当α=0和α=1时也满足
本章内容框架
7.1 边际效用递减 7.2 风险厌恶的定义 7.3 风险厌恶的度量 7.4 风险厌恶的几个例子 7.5 风险厌恶的比较 7.6 一阶风险厌恶 7.7 本章小结
2020/9/23
2
《金融经济学》--王江
7.1 边际效用递减
定义7.1:对于函数u(·)，如果∀x, y 和 α∈[0,1]，有 u(αx+(1−α) y)≥αu(x)+(1−α)u(y) （⇔ uE(x) ≥ Eu(x) ） 则我们称u(·)为凹的。
我们应该很清楚，一切风险的度量都应该与风险 本身有关，对于不同的风险都应该有不同的风险 厌恶度量。
本章节主要是对小风险的情形进行度量，包括绝 对风险度量和相对风险度量。
2020/9/23
12
《金融经济学》--王江
风险测量指标
风险贴水
方差 举例：
A
景气 3/18
不景气 期望 1/10 2/14
意味着u” (·) ≤0，也就是说边际效用是消费的
减函数。边际效用递减意味着当消费水平上升时， 一单位额外消费得到的效用递减。
2020/9/23
6
《金融经济学一节我们讨论了期望效用函数u(·)的凹性的一 个重要含义是边际效用递减，这一节我们将继续 探讨期望效用函数的另一个重要含义，也就是当 偏好可以由期望效用表示时，凸性（凹函数）意 味着风险厌恶。
概述
作为偏好的一个基本性质，我们要求它是凸的， 偏好的凸性对参与者的最优消费/组合选择有重 要的影响。这一章我们将进行一些具体研究。
本章从上一章的效用函数出发，了解凸性的经济 意义，引出风险厌恶的概念及其度量。最后考虑 不同偏好所反应的风险厌恶之间的比较。
2020/9/23
1
《金融经济学》--王江
Eg：
2020/9/23
8
《金融经济学》--王江
7.2 风险厌恶的定义(续)
定理7.3: 当且仅当u是(严格)凹函数是，参与者是(严 格)风险厌恶的。 证明:
风险厌恶⇒凹函数
∀w1,w2(w1>w2)以及p∈(0,1)，构造如下的伯努利赌
博
，概率为{p,1−p}，且
很明显E[ ]=0。定义 w1= w+g1 ,w2=w+g2 风险厌恶意味着（由定义7.3）
凹函数⇒风险厌恶
因为u是凹函数，由Jensen不等式，我们有
因此，(据定义7.3)易得参与者是风险厌恶的。
定理7.3 证明了当偏好可以由期望效用表示时， 凸性（凹函数）意味着风险厌恶。
2020/9/23
11
《金融经济学》--王江
7.3 风险厌恶的度量
给出了风险厌恶的一般定义以后，我们很自然的 考虑到如何量化，也就是说我们能否有一个风险 厌恶的度量，可以让我们比较不同参与者或者同 一参与者在不同情况下的风险厌恶程度？
(7.1) 也就是说，风险溢价是参与者为了消除风险而愿 意放弃的财富值。
上式定义中的−π ，被称为风险赌博的确定性等
值CE，CE是一个完全确定的收入量，在此收入水
平上所对应的效用水平等于不确定条件下期望的 效用水平。
2020/9/23
14
《金融经济学》--王江
7.3 绝对风险厌恶(续)
另外，我们也可以把它定义成参与者因为承担 风险而要求的最小财富值：
那么有
2020/9/23
9
《金融经济学》--王江
7.2 风险厌恶的定义(续)
U(w+g1) U(w)
pU(w+g1) +(1-p)U(w+g2) U(w+g2)
2020/9/23
0 w+g2 w
《金融经济学》--王江
w+g1
10
7.2 风险厌恶的定义(续)
那么，
因此(据定义7.1) ，u是凹函数。