2019年浙江省丽水市初中数学教师解题大赛试卷一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）1．（2019•杭州）正方形纸片折一次，沿折痕剪开，能剪得的图形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．梯形 D．菱形2．若代数式y2+y﹣3的值是0，则代数式y3+4y2+2019的值为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20223．（2019•金华）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）4．（2019•杭州）若a+b=﹣2，且a≥2b，则（）A．有最小值B．有最大值1 C．有最大值2 D．有最小值5．不论a为任何实数，二次函数y=x2﹣ax+a﹣2的图象（）A．在x轴上方B．在x轴下方C．与x轴有一个交点 D．与x轴有两个交点6．如果不等式组只有一个整数解，那么a的范围是（）A．3＜a≤4 B．3≤a＜4 C．4≤a＜5 D．4＜a≤57．（2019•台州）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A． B．C．3 D．28．如图，一张边长为4的等边三角形纸片ABC，点E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），EF∥BC交AC 于点F．以EF为折痕对折纸片，当△AEF与四边形EBCF重叠部分的面积为时，折痕EF的长度是（）A．2 B．或C．D．2或二、填空题（8小题，每小题4分，共32分）9．一个样本的方差是0，若中位数是a，那么它的平均数是_________．10．（2019•台州）如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为和谐点．请写出一个和谐点的坐标：（2，2）．11．已知，则分式的值是_________．12．（2019•宁波）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=_________．13．（2019•杭州）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要_________位．14．（2019•黄石）若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数的图象没有公共点，则实数k的取值范围是_________．15．（2019•孝感）已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是_________．16．（2019•义乌市）如图，一次函数y=﹣2x的图象与二次函数y=﹣x2+3x图象的对称轴交于点B．（1）写出点B的坐标_________；（2）已知点P是二次函数y=﹣x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=﹣2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点．若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为_________．三、解答题（每小题12分，共36分）17．将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形．问其中最长的一段的取值范围．18．公交车由始发站A站开出向B站行进，与此同时，小强和小明分别从A，B两站同时出发，小强由A向B步行，小明骑自行车由B向A行驶，小明的速度是小强的3倍，公交车每隔相同时间发一辆车，小强发现每隔20分钟有一辆公交车追上他，而小明也发现每隔10分钟就遇到一辆公交车．（1）求两辆公交车发车的间隔时间；（2）若AB两站相距12km，公交车的速度为30km/h，问在行进途中（不包括起点和终点），小强被几辆公交车追上，小明又遇到了几辆公交车？19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，证明：四边形OECD是平行四边形；（3）若，求tan∠ACO的值．2019年浙江省丽水市初中数学教师解题大赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）1．（2019•杭州）正方形纸片折一次，沿折痕剪开，能剪得的图形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．梯形 D．菱形考点：剪纸问题。
专题：作图题。
分析：此题可以直接作图，由图形求得答案，也可利用排除法求解．解答：解：如图：若沿着EF剪下，可得梯形ABEF与梯形FECD，∴能剪得的图形是梯形；∵如果剪得的有三角形，则一定是直角三角形，∴排除A与B；如果有四边形，则一定有两个角为90°，且有一边为正方形的边，∴不可能是菱形，排除D．故选C．点评：此题考查了剪纸问题，考查了学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．2．若代数式y2+y﹣3的值是0，则代数式y3+4y2+2019的值为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022考点：因式分解的应用。
分析：由条件可以得出y2+y=3，再由结论变形为y（y2+4y）+2019，得到y（y2+y+3y）+2019，通过代换后就可以求出其值．解答：解：由题意，得y2+y﹣3=0，y2+y=3．∵y3+4y2+2019=y（y2+y+3y）+2019，∴y3+4y2+2019=y（3+3y）+2019，=3（y+y2）+2019，=3×3+2019，=2020．故选B．点评：本题考查了数学整体思想的运用和因式分解在整式的计算中的运用．3．（2019•金华）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）考点：切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理。
专题：网格型。
分析：根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF=90°时F点的位置即可．解答：解：连接AC，作AC的垂直平分线BH，交格点于点O，则点O就是所在圆的圆心，∵过格点A，B，C作一圆弧，∴三点组成的圆的圆心为：O（2，0），∵只有∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，∴当△BOD≌△FBE时，∴EF=BD=2，F点的坐标为：（5，1），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．故选：C．点评：此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出△BOD≌△FBE时，EF=BD=2，即得出F点的坐标是解决问题的关键．4．（2019•杭州）若a+b=﹣2，且a≥2b，则（）A．有最小值B．有最大值1 C．有最大值2 D．有最小值考点：不等式的性质。
专题：计算题。
分析：由已知条件，根据不等式的性质求得b≤﹣＜0和a≥﹣；然后根据不等式的基本性质求得≤2 和当a＞0时，＜0；当﹣≤a＜0时，≥；据此作出选择即可．解答：解：∵a+b=﹣2，∴a=﹣b﹣2，b=﹣2﹣a，又∵a≥2b，∴﹣b﹣2≥2b，a≥﹣4﹣2a，移项，得﹣3b≥2，3a≥﹣4，解得，b≤﹣＜0（不等式的两边同时除以﹣3，不等号的方向发生改变），a≥﹣；由a≥2b，得≤2 （不等式的两边同时除以负数b，不等号的方向发生改变）；A、当a＞0时，＜0，即的最大值不是，故本选项错误；B、当﹣≤a＜0时，≥，有最小值是，无最大值；故本选项错误；C、有最大值2；故本选项正确；D、无最小值；故本选项错误．故选C．点评：主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5．不论a为任何实数，二次函数y=x2﹣ax+a﹣2的图象（）A．在x轴上方B．在x轴下方C．与x轴有一个交点 D．与x轴有两个交点考点：抛物线与x轴的交点。
专题：探究型。
分析：先求出△的表达式，判断出△的取值范围即可解答．解答：解：∵△=（﹣a）2﹣4×（﹣2）=a2+8＞0，∴不论a为任何实数，二次函数y=x2﹣ax+a﹣2的图象总与x轴有两个交点．故选D．点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，能把抛物线与x轴的交点问题转化为判断一元二次方程根的问题是解答此题的关键．6．如果不等式组只有一个整数解，那么a的范围是（）A．3＜a≤4 B．3≤a＜4 C．4≤a＜5 D．4＜a≤5考点：一元一次不等式组的整数解。
分析：首先解不等式组，求得不等式组的解集，然后根据不等式组只有一个整数解即可确定a的值．解答：解：解不等式①：x≥a，解不等式②得：x＜5．则不等式组的解集是：a≤x＜5．∵不等式组只有一个整数解，则3＜a≤4．故选A．点评：此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．7．（2019•台州）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A． B．C．3 D．2考点：切线的性质。
分析：因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△．又∵OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小．根据垂线段最短，知OP′=3时P′Q′最小．运用勾股定理求解．解答：解：作OP′⊥l于P′点，则OP′=3．根据题意，在Rt△OP′Q′中，P′Q′==．故选B．点评：此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PQ最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上．8．如图，一张边长为4的等边三角形纸片ABC，点E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），EF∥BC交AC 于点F．以EF为折痕对折纸片，当△AEF与四边形EBCF重叠部分的面积为时，折痕EF的长度是（）A．2 B．或C．D．2或考点：翻折变换（折叠问题）。
分析：此题应分两种情况考虑：当折叠后△AEF的顶点A落在四边形BCFE内或BC边上时，重叠部分的面积即是三角形AEF的面积；当叠后△AEF的顶点A落在四边形BCFE外点A′处时，重叠部分的面积即是三角形AEF的面积减去A′MN的面积，根据轴对称的性质和相似三角形的性质进行计算．解答：解：在等边△ABC中，作AD⊥BC于D，交EF于H，∴BD=DC=BC=2．又∵tan∠ABD=tan60°=，∴AD=2；∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．∴=，=．∴AH=EF，∴S△AEF=AH•EF．S△AEF=•EF2=EF2．①当折叠后△AEF的顶点A落在四边形BCFE内或BC边上时，S△AEF=EF2=，解得，EF=2；②当折叠后△AEF的顶点A落在四边形BCFE外点A′处时，如图所示，A′F交BC于M，A′E交BC于N，连接AA′交EF于H，交BC于D．∵=，∴=，又∵AH=A′H，∴=，∴=，∴=，=，∴S△A′MN=．∴S四边形MFEN=EF2﹣=，解得，EF=；综上所述，EF的值是2或．故选D．点评：本题考查的是翻折变换（折叠问题）．此题采用了“分类讨论”的数学思想，以防漏解．二、填空题（8小题，每小题4分，共32分）9．一个样本的方差是0，若中位数是a，那么它的平均数是a．考点：方差；算术平均数；中位数。