向量组1
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
A的列向量组为1,2 ,,n ； A的行向量组为 1T , 2T ,, mT.
➢ 称A的列向量组的秩为A的列秩;
➢ 称A的行向量组的秩为A的行秩.
向量组的秩与矩阵秩的关系
设矩阵A
1 0
1 1
1 2
，试确定矩阵的秩，行秩，列秩.
0 0 0
➢ 矩阵A的秩为 2；
➢ A的行向量组为：1T 1 1 1, 2T 0 1 2, 3T 0 0 0.
➢
1T
,
T 2
是
A 的行向量组的一个极大无关组，A 的行秩是2.
向量组的秩与矩阵秩的关系
1
1
1
A的列向量组为 1 0,2 1,3 2.
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向量组的秩与矩阵秩的关系
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01
向量组的秩与矩阵秩的关系
向量组的秩与矩阵秩的关系
含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应
Amn 1 2 n
向量组的秩与对应的矩阵的秩具有什么联系？
0
0
0
由于 1，2线性无关，3 22 1 ，故 1，2是A的列向量
组的一个极大无关组，因而A的列秩为2.
在本例中，我们发现矩阵的秩等于其行秩和列秩！ 这一结论是否具有普遍意义呢？
向量组的秩与矩阵秩的关系
回顾
1 0
0 1
0 0
c11 c21
c1,nr c2,nr
A B 0 0 1 cr1 cr,nr
推论2：等价的向量组秩相等.
向量组的秩与矩阵秩的关系
推论3：设 m n 矩阵A，若 RA r ，则
（1）矩阵A由r个线性无关的列向量；当r=n时，A的列向 量组线性无关；当r<n时，A的列向量组线性相关. （2）矩阵A由r个线性无关的行向量；当r=m时，A的行向 量组线性无关；当r<m时，A的行向量组线性相关. （3）矩阵A由n阶方阵时，A可逆，则A的列向量组线性无 关；A的行向量组线性无关.A的秩为n.
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定理：矩阵初等行（列）变换不改变列（行）向量组的线性 相关性和线性组合关系.
向量组的秩与矩阵秩的关系
定理1： 矩阵A的秩等于矩阵A的列（行）秩.
推论1：若向量组1,2,,r 可由向量组 1, 2 ,, s线性表示, 则向量组1,2,,r 的秩不大于向量组 1, 2 ,, s 的 秩.