anu(n)：左边指数序列
描述指数增长、衰减特性；如：生物繁衍、存款 本息、大气传播、电路震荡
6. 复指数序列
j n
n
a = re j
jn
x(n) (re ) r e
n
r (cosn j sin n)
ej n复正弦信号傅里叶变换的基函数、系统的特征函数
离散信号（序列）的基本运算
H (e )
j
H ( j )
无失真传输系统的频率响应
离散系统z域分析
z变换是离散系统分析与综合的重要工具
z变换定义及收敛域
X ( z)
n


x[n]z
n
单边、双边
收敛域(ROC): R |z| R+ 序列特性对收敛域的影响 1) 有限长序列 z 变换的收敛域
f (k ) (1 2
| h(n) |

H ( z)
n
n h ( n ) z

一定包括单位圆|z|=1，也就是H(e jω)存在
因果且稳定
因果稳定系统的系统函数H(z)必须在从单位圆到∞ 的整个z域内收敛，即
Rx | z |
Rx 1
也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。
数字信号处理
1.1 离散时间信号与系统 1.2 傅里叶变换 1.3 数字滤波器
信号的分类
1. 确定性信号和随机信号 平稳和非平稳（时变）信号 2. 连续信号x(t)和离散信号x(n) / 数字信号/序列 3. 周期信号和非周期信号
x(t ) x(t kT )
E
x(n) x(n kN )
离散时 间系统
输出序列
y(n) = T{x(n)}
系统性质
1. 线性
T{ax1 (n) bx2 (n)} aT{x1 (n)} bT{x2 (n)}
y(n)=2x(n)+3 / y(n) = Im[x(n)] 2. 时不变 T{x(n)}=y(n)，T{x (n-m)}=y(n-m) y(n)=x(2n)
n
h( n) z
H (e ) H ( z) z e j
j
2 Y ( z) 1 6 z 2 z 6 H ( z) 1 2 2 E( z) 1 5z 6 z z 5z 6
借助z变换，在系统的不同描述方法之间架起桥梁
系统的因果、稳定性与H(z)的收敛域
f (k ) b k u(k 1) a k u(k ) b 1 z 1
F ( z)
k
b z a z
k k k k 0
1

az 1 1
k k 0
k
(b z ) (az 1 ) k
1 k 1

z z bz za
h(n)、H(z)、差分方程区分IIR和FIR系统
(1)单位脉冲响应h(n)
如果系统的单位冲脉冲应延伸到无穷长 ，则称为 “无限长单位脉冲响应系统”，简写为IIR系统。
h(n) 0.5 u(n) infinite impulse response
n
如果系统的单位脉冲响应是一个有限长序列，则称 为“有限长单位脉冲响应系统”，简称为FIR系统。
时域插值，造成在数字频率域上频谱压缩
加防混叠滤波器的抽取器系统
将待抽取序列的频谱限制在| | 范围内 D
xd (n) H (e j ) 1, | | x ( n) D ↓D h( n) 0 x I ( n) xe (n) x ( n) I , | | j ↑I h( n) H (e ) I If s If s fs 0, xId (n) x ( n)
az 1 1
1 z 1 1 az za
|a| 时其ZT存在， 其收敛域是半径为|a| 的圆外区域。
Re[ z ]
3) 反因果序列z变换及其收敛域
f (k ) a u(k 1)
k
F ( z)
k
a u(k 1) z
h(n) z变换
零、极点图

H ( z)
n
z变换 差分方程
H (e j ) 框图/流图
H ( z)
y(k ) 5 y(k 1) 6 y(k 2) e(k ) 6e(k 2) 1 2 2 Y ( z )(1 5 z 6 z ) E ( z )(1 6 z )
F ( z)
3
k 0

2 1)
k


f (k ) z
k
z 2 2 z 3 2 z 1 z 2
ROC 0 z
有限长序列的z变换的收敛域至少是有限z平面
2) 因果序列z变换及其收敛域
f ( n) a n u ( n)
1 n ( az F ( z ) a u ( n) z ) n n n n 0
4. 稳定性 有界输入产生有界的输出
LTI系统稳定的充分必要条件 y(n) = x(n) +2y(n-1)
n
h( n )

系统的描述方法
常系数线性差分方程 / 微分方程
单位抽样响应 系统函数 零、极点图 框图/流图(实现结构) 频率响应
h( n) H ( z)
h(t ) H ( s)
1) 相加与相乘 2) 翻转 3) 差分 x1(n) + x2(n) x(n) x ( n) c x(n)
x(n) x(n 1) x(n) x(n) x(n) x(n 1)
x(n) x(nN)
z
1
4) 位移（延时）
x ( n)
y ( n)
单位延时
5) 卷积
y(n) x(n) h(n)
Im[ z ]
zb
za
azb
双边序列当|a|<|b|时其z变 换存在，收敛域为 |a|<|z|<|b|的环状区域 当|a||b|时没有公共收敛域， 即其z变换不存在！
半径为|b|
Re[ z ]
半径为|a|
系统函数H(z) (transfer function, system function)
t nT
n 0
1
2 1 1}
x(n)={1, 1, 2, -1, 1; n= -1, 0, 1, 2, 3} 丢失了具体的时间信息，只表明信号的先后顺序
典型离散信号（序列）
1. 单位脉冲序列
1 n 0 (n) 0 n 0
h(n)
2. 单位阶跃序列
1 n 0 u (n) 0 n 0
FIR系统一般采用非递归结构实现
有时FIR系统也使用递归结构实现，可以提高计算效率 栗子：L点的滑动平均器：
1 y (n) [ x(n) x(n 1) x(n L 1)] L 1 y (n) [ x(n) x(n 1) x(n L 1) x(n L) x(n L)] L 1 y (n) y (n 1) [ x(n) x(n L)] END L
LTI (linear time-invariant) LSI (linear shift invariant)
3. 因果性（Causality）
系统n时刻的输出只与n时刻及以前的输入有关 因果的LTI：h(n)=0, n<0. y(n) = [x(n+1) + x(n) + x(n-1)] /3
x(n-k)有关，而且和各y(n-k)有关。 FIR 系统中，没有反馈环路，称之为“非递归型”结 构。FIR系统的输出只和各输入x(n-k)有关。
IIR系统只能采用递归型结构实现
y(n) ay(n 1) bx(n) cx(n 1) y(n) ax(n) bx(n 1) cx(n 2)
x(n) x(t ) t nT A sin( 0 nT ) A sin( 0 n )
T
数字频率与模拟频率的关系 是一个相对频率
f 2 T fs fs
5. 指数序列
x(n) a , n Z
n
anu(n)：右边指数序列
|a| 1序列有界 |a| 1序列有界
6) 抽取(decimation)与插值(interpolation) x(Dn) 是x(n)的抽取序列 D为正整数 每D个样值抽取一个 x(n/I) 是x(n)的插值序列
I为正整数
每两个样值之间插入（I -1）个零值
选择合适的I和D，就能够任意地改变采样频率fs
一般是先做I倍插值，再做D倍抽取 时域抽取，造成在数字频率域上频谱展宽
y ( n)
acc
m
x(m)h(n m)

卷积的FFT算法 卷积的实时处理 分段卷积 重叠相加法和重叠保留法
重叠相加法： h(n)为M点，将x(n)分为每段L点，L和M的数量级相同 可得每段的卷积结果 yi(n) 为 L+M-1 点，由于每段 xi(n) 为 L点 ，故相邻两段输出序列必然有 (M-1)个点发生重 叠，应该将重叠部分相加再和不重叠的部分共同组成 卷积结果y(n)。 重叠保留法： 将x(n)分段，每段L个点,在每一段的前边补上前一段 最后(M-1)个值，组成L+M-1点序列xi(n) 然后用FFT实现h(n)和xi(n)的L+M-1点圆周卷积，卷积 结果的前(M-1)点发生混叠，舍去混叠点后，用每段的 后L个值，首尾相接构成y(n)。
k

k

k
a
1
k
z
k
(a z )
1 k 1