目录构造函数 (2)一、求导法则构造型 (2)二、f’(x)+nf(x)型 (6)三、xf’(x)+nf(x)型 (9)四、f’(x)-nf(x)型 (13)五、xf’(x)-nf(x)型 (18)六、三角函数型 (22)七、复合函数型 (26)八、转化型 (26)构造函数解题中我们经常会遇见这样一类函数综合问题：给定式)(x f 与)(x f '所满足的一个不等式或者等式，大多数同学都这一类问题比较迷惑，进而造成解题受阻. 解决这一类问题往往是需构造一个新的函数，使这个新函数的单调性，可以直接由给定的条件判断，进而利用新函数的性质去解题. 所以本专题就针对)(x f 与)(x f '出现的不同类型进行归纳总结.一、 求导法则构造型此类题目在构造上相对较为简单，只需根据常见的求导公式及其求导法则就可以构造出原函数已知函数()(),f x g x 在区间[],a b 上均有()()''f x g x <，则下列关系式中正确的是( )A ．()()()()f x f b g x g b +≥+B ．()()()()f x f b g x g b -≥-C ．()()f x g x ≥D ．()()()()f a f b g b g a -≥- 【答案】B定义域为R 的函数()f x 满足(3)6f -=，且2()1f x x '>+对x R ∈恒成立，则31()153f x x >+的解集为( )A ．(3,)-+∞B ．(,3)-∞-C ．(,3)-∞D ．(3,)+∞ 【答案】A【解析】构造函数31()()3F x f x x =-，则有31(3)(3)(3)153F f -=---=，且2()()F x f x x ''=-．由2()1f x x '>+，可知，则()F x 为增函数， 故31()15()15(3)33f x x F x F x >+⇔>=-⇔>-．故选：A ．已知函数()f x 的定义域为R ，(0)1f =-，对任意的x R ∈满足()2f x x '>． 当[]0,απ∈时，不等式(sin cos )sin 20f ααα+->的解集为( )A ．(,)42ππB ．30,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．(,)4ππ D ．3(,)24ππ 【答案】B【解析】函数()f x 的定义域为R ，(0)1f =-，对任意的x R ∈满足()2f x x '>，设2()()2g x f x x =-+，()()20g x f x x ''=->，故()g x 在R 上单调递增， (0)(0)21g f =+=，2(sin cos )(sin cos )(sin cos )2(sin cos )sin 21g f f ααααααααα+=+-++=+-+， 不等式(sin cos )sin 20f ααα+->等价于(sin cos )1(0)g g αα+>=， 所以sin cos 0αα+>，)04πα+>，即(2,2)4k k παπππ+∈+，即3(2,2)44k k ππαππ∈-+，结合[0α∈，]π， 所以[0α∈，3)4π， 故选：B ．(2019秋 抚州期末)已知定义域为R 的函数()f x ，对任意的x R ∈都有()4f x x '>，且11()22f =．当[0α∈，2]π时，不等式(sin )cos210f αα+->的解集为( ) A ．711(,)66ππ B ．45(,)33ππ C ．2(,)33ππ D ．5(,)66ππ【答案】D【解析】令2()()2g x f x x =-，()4f x x '>，则()()40g x f x x ''=->， 即()g x 单调递增，11()22f =，1()02g =，当[0α∈，2]π时，由(sin )cos210f αα+->可得2(sin )cos212sin f ααα>-+=， 即(sin )0g α>，故1sin 2α>， [0α∈，2]π，故566ππα<<，故选：D ．定义在R 上的可导函数()f x 满足(2)()22f x f x x -=-+，记()f x 的导函数为()f x '，当1x ≤时恒有()1f x '<．若()(12)31f m f m m --≥-，则m 的取值范围是( )A ．(],1-∞-B ．1(,1]3- C ．[)1,-+∞ D ．1[1,]3-【答案】D【解析】由条件得：函数()(12)31()(12)(12)f m f m m f m m f m m ---⇔----， 所以构造函数()()F x f x x =-，()(12)31()(12)f m f m m F m F m ---⇔- 由于(2)()22f x f x x -=-+； 所以(2)(2)()f x x f x x ---=-，即(2)()F x F x -=， 所以()F x 的对称轴为1x =； 又()()1F x f x ''=-， 当1x 时恒有()1f x '<．所以，[1x ∈，)+∞，()0F x '>，()F x 是增函数； (x ∈-∞，1]，()0F x '<，()F x 是减函数． |1||121|m m ∴---，解得：23210m m +-，[1m ∴∈-，1]3．故选：D ．设函数()f x 在R 上可导，x R ∀∈，有2()()f x f x x +-=且()22f =；对(0,)x ∀∈+∞，有()f x x '>恒成立，则2()12f x x >的解集为( ) A ．()()2,00,2- B ．()(),22,-∞-+∞C ．()()2,02,-+∞ D ．()(),20,2-∞-【答案】C【解析】令21()()2g x f x x =-，2211()()()()022g x g x f x x f x x -+=--+-=，∴函数()g x 为奇函数．(0,)x ∈+∞时，()()0g x f x x '='->，∴函数()g x 在(0,)+∞上是增函数， ∴函数()g x 在(,0)-∞上也是增函数，()g x ∴在(,0)-∞和(0,)+∞上是增函数，由2()12f x x >，得21()02f x x ->，即()0g x >， f (2)2=，∴21(2)(2)202g f =-=，(2)0g -=， (2,)x ∴∈+∞或(2,0)x ∈-时，()0g x >，故(2x ∈-，0)(2⋃，)+∞时，2()12f x x >． 故选：C ．(2015 福建理 10)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是( )A ．11f k k⎛⎫< ⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ．111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C【解析】由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则()()0g x f x k ''=->， 故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故()101g g k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭， 所以11f k ⎛⎫- ⎪-⎝⎭11kk >--，1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭，所以结论中一定错误的是C ，选项D 不确定；构造函数()()h x f x x =-，则()()10h x f x ''=->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k>，所以()10h h k ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即111f k k ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，111f k k⎛⎫>- ⎪⎝⎭，选项A ，B 无法判断．故选C ．设()f x 、()g x 是R 上的可导函数，()f x '、()g x '分别是()f x 、()g x 的导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当a x b <<时，有( )A ．()()()()f x g x f b g b >B ．()()()()f x g a f a g x >C ．()()()()f x g b f b g x >D ．()()()()f x g x f a g a >【答案】A已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，满足：()0f x >，()0g x >，且()()()()0f x g x f x g x ''-<．若a b R +∈，且a b ≠，则有( )A ．22a b a b f g f g ++⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．22a b a b f g f g ++⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．22a b a b f g g f ++⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22a b a b f g g f ++⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】构造函数()()()f x F xg x =，则2()()()()()()f x g x f x g x F x g x ''-'=．∵()()()()0f x g x f x g x ''-<，∴()0F x '＜， 即()F x 为减函数．又当a b +∈R ，且a b ≠时，2a b +>∴2a b F F +⎛⎫< ⎪⎝⎭，即22a b f a b g +⎛⎫⎪⎝⎭<+⎛⎫ ⎪⎝⎭又()0f x >，()0gx >，∴22a b a b f g f g ++⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．(2018 成外4月月考 11)设函数()'f x 是奇函数()f x ()x R ∈的导函数，当0x >时，()()1ln ',x f x f x x⋅<-则使得()()210x f x ->成立的x 的取值范围是( )A. ()()1,00,1-B. ()(),11,-∞-+∞C. ()()1,01,-+∞ D. ()(),10,1-∞-【答案】D 【解析】()()1ln '0x f x f x x⋅+⋅<， 故可构造函数()()ln g x f x x =⋅，则()'0g x <，()g x 单调递减又()10g =，故01x <<时，()0g x >，()0f x <，()()210x f x -> 当1x >时，()0g x <，()0f x <，()()210x f x -< 又()()21x f x -是奇函数，由图像可得解集为D二、f ’(x )+nf (x )型 (1)()()()'00f x f x +≥≤：构造()()xg x e f x =，则()()()()()''00xg x e f x f x =+≥≤，()g x 单增(单减)；(2)()()()'00f x nf x +≥≤：构造()()nx g x e f x =，则()()()()()''00nxg x e f x nf x =+≥≤，()g x 单增(单减)定义在上的函数满足：0)()(>+'x f x f ，5)0(=f ，是的导函数，则不等式5)(>x f e x(其中为自然对数的底数)的解集为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意可构造)()(x f e x F x =，则0)]()([)(>'+=' x f x f e x F x，所以)(x F 在R 上为增函数，则0(0)(0)5F e f ==，故当0()5()5xx F x e f x >⇒>⇒>故选A 已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数x 都有2()()x f x e f x -=． 当0x <时，()()0f x f x +'>，若(31)(21)a e f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A ．20,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)0,+∞D ．(],0-∞【答案】B【解析】令()()x g x e f x =， 当0x <时，()()0f x f x +'>， 则()[()()]0x g x e f x f x '=+'>，0x <， 因为对于任意的实数x 都有2()()x f x e f x -=， 又2()()()()()x x x x g x e f x e f x e f x e g x ---=-===即()g x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知，当0x >时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越小， 由(31)(21)a e f a f a ++，可得3121(31)(21)a a e f a e f a ++++， 即(31)(21)g a g a ++， 所以|31||21|a a ++，解可得，205a -． 故选：B ．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '+>，(0)2018f =，则不等式()2017x x e f x e >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )R ()f x '()f x ()f x e (0,)+∞(,0)(3,)-∞+∞(,0)(1,)-∞+∞(3,)+∞A ．()(),00,-∞+∞B ．()(),02017,-∞+∞C ．(2017,)+∞D ．(0,)+∞ 【答案】D【解析】令()()x x g x e f x e =-，则()()()(()()1)x x x x g x e f x e f x e e f x f x '=+'-=+'-， ()()1f x f x +'>，()()10f x f x ∴+'->， ()0g x ∴'>，()g x 在R 上为单调递增函数， (0)(0)1201812017g f =-=-=∴原不等式可化为()(0)g x g >，根据()g x 的单调性得0x > 故选：D ．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2x f x f x xe -'+=，若(0)1f =，则函数()()f x f x '的取值范围为( )A ．[]2,0-B ．[]1,0-C ．[]0,1D ．[]0,2 【答案】A【解析】由()()2x f x f x xe -'+=， 得()()2xf x f x x e-'+=，即()()2x x e f x e f x x '+=， 令()()x g x e f x =，则()()()2x x g x e f x e f x x '=+'=，2()g x x c ∴=+(其中c 为常数)，2()x x cf x e+∴=，又(0)1f =，1c ∴=，则21()x x f x e+=，221()xx x f x e --∴'=，∴222()2121()11f x x x x f x x x '--==-+++， 当0x =时，()1()f x f x '=-，当0x ≠时，()211()f x f x x x'=-++，1(,2][2,)x x+∈-∞-+∞，∴()[2()f x f x '∈-，0]． 故选：A ．三、x f ’(x )+nf (x )型 (1)()()()'00xf x f x +≥≤：构造()()g x xf x =，则()()()()''00g x xf x f x =+≥≤，()g x 单增(单减)；(2)()()()'00xf x nf x +≥≤：构造()()ng x x f x =，则()()()()()1''00n g x x xf x nf x -=+≥≤(0x >)，()g x 单增(单减)设函数()f x '是奇函数()()y f x x R =∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '+>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( ) A ．()(),10,1-∞- B ．()()0,11,+∞ C ．()(),11,0-∞-- D ．()()1,01,-+∞【答案】D【解析】设()()g x xf x =，则()g x 的导数为：()()()g x f x xf x '=+' 当0x >时，()()0xf x f x '+>， 即当0x >时，()g x '恒大于0，∴当0x >时，函数()g x 为增函数，()f x 为奇函数∴函数()g x 为定义域上的偶函数又(1)1(1)0g f -=-⨯-=， ()0f x >，∴当0x >时，()0g x >，当0x <时，()0g x <，∴当0x >时，()0g x g >=(1)，当0x <时，()0(1)g x g <=-，1x ∴>或10x -<<故使得()0f x >成立的x 的取值范围是(1-，0)(1⋃，)+∞， 故选：D ．(2019秋 城关区校级月考)已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '．当0x 时，恒有()()0xf x f x '+-，若()()g x xf x =，则不等式()(12)g x g x <-的解集为( ) A ．1(,1)3B ．1(,)3-∞C ．(1,)+∞D ．1(,)(1,)3-∞+∞【答案】B【解析】函数()f x 为偶函数，∴当0x 时，恒有()()0xf x f x '+-即为()()0xf x f x '+，由()()g x xf x =可得，()()()0g x f x xf x '=+'，故函数()g x 在(0,)+∞上为增函数， 易知函数()g x 为R 上的奇函数， ∴函数()g x 在R 上单调递增， ()(12)g x g x ∴<-等价为12x x <-，解得13x <． 故选：B ． 已知偶函数()()f x x R ∈，其导函数为()f x '，当0x >时，21()()0f x xf x x '++>，1(5)25f =，则不等式21()f x x >的解集为 ． 【答案】()(),55,-∞-+∞ 【解析】令1()()g x xf x x=-， 当0x >时，21()()()0g x f x xf x x ''=++>， ()g x 在(0,)+∞上单调递增．因为()f x 是偶函数， 所以()g x 是奇函数． 因为f (5)125=， 所以g (5)5f =(5)105-=．()05g x x ∴>⇔>；()05g x x <⇔<-不等式21()f x x >等价于()0g x x >，所以0()0x g x >⎧⎨>⎩或0()0x g x <⎧⎨<⎩，解得5x >或5x <-． 故答案为：()(),55,-∞-+∞定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ' 且()()()f x xf x xf x '+<对x R ∈恒成立 则( ) A.()()221f f e < B. ()()221f f e> C. ()10f > D. ()10f -> 【答案】A【解析】结合前两类，先构造)()()()()(x f x x f x F x xf x F '+='⇒=则原条件)()(x F x F <'，则0)()(<-'x F x F构造xx x x e x xf x f x x f e x F x F x H e x xf e x F x H )()()()()()()()()(-'+=-'='⇒==则由0)(<'x H 所以)(x H 在R 上是减函数，所以)1()2(2)2(2)1(1)2()1(21f ef e f e f H H <⋅⇒⋅>⋅⇒>故选A 【考点】二次构造已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，其导函数为)(x f '，且0<x 时0)()(2<'+x f x x f 恒成立，则)1(f a =，)2014(2014f b =，)2015(2015f c =的大小关系为 ( )A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c b a <<【答案】D【解析】)()(2x f x x F =则)](2)([)(x f x f x x x F +'=，由题意得，当0<x ，0)(>'x F ，)(x F 在)0,(-∞上是增函数，又因为)(x f 是奇函数，则)(x F 也是奇函数，则当0>x 时，)(x F 在),0(+∞ 上也是增函数，则有：)2015(2015)2014(2014)1()2015()2014()1(f f f F F F <<⇒<<故a b c >>，故选D设函数)(x f '是奇函数)()(R x x f ∈ 的导函数，0)2(=-f ，当0>x 时，0)(3)(>+'x f x f x ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是( ) A. ()(),20,2-∞- B. ()()2,02,-+∞ C. ()(),22,2-∞-- D. ()()0,22,+∞【答案】B【解析】构造)()(3x f x x F =则)](3)([)(2x f x f x x x F +'=，所以当0>x ，0)(>'x F 则)(x F 在),0(+∞上为增函数。