第二章 导数与微分1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设200200(1)(1)10(1)10'(1)lim lim1020lim lim (1020)20x x x x f x f x f x xx x x x∆→∆→∆→∆→-+∆--∆---==∆∆∆-∆==∆-=-∆2. 下列各题中均假定()0x f '存在,按导数定义观察下列极限,指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。
⑴ ()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim(0'()f x -); ⑵ ()=→∆xx f x 0lim ('(0)f ), 其中()()存在;且0,00f f '= ⑶ ()()=--+→hh x f h x f h 000lim(02'()f x ).3. 求下列函数的导数:⑴ ='=y x y ,4则34x ⑵ ='=y x y ,32则1323x -⑶ ='=y xy ,1则3212x -- ⑷ ='=y x x y ,53则115165x 4. 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方上点⎪⎭⎫⎝⎛=πx y'sin ,'()3y x y π=-=所以切线方程为1)23y x π-=-2(1)0y +-=法线方程为1)23y x π-=-化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin 2x x xx y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)01lim sin 0(0)()x f x f x→===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续因为 20001sin(0)(0)1lim limlim sin 0x x x x f x f x x xx x∆→∆→∆→∆+∆-==∆=∆∆∆所以函数在0x =处可导.6. 已知()()()()是否存在?又及求 0 ,0 0 ,0 2f f f x x x x x f '''⎩⎨⎧<-≥=-+ 2'00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h+→+→++-==='00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf h h-→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠Q '(0)f ∴不存在7. ()(). , 0sin x f x x x x x f '⎩⎨⎧≥<=求已知 当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==; 当0x =时'00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf h h+→→+-===++ '00(0)(0)sin (0)limlim 1h h f h f h f h h-→-→+-===- '(0)1f ∴=综上,cos ,0'()1,0x x f x x <⎧=⎨≥⎩8. 求下列函数的导数:(1);54323-+-=x x x y (2);1227445+-+=x xx y 2222222232242222csc cot (1)2csc 2'(1)2(1)csc cot 4csc (1)23(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )(94)ln 32(3ln )x x x x xy x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x -+-=+-+-=+++-++=+-+-+=+g g 2'364y x x =-+652'20282y x x x ---=--+(3);3253xxe x y +-= (4);1sec tan 2-+=x x y2'152ln 23x x y x e =-+ 2'2sec sec tan y x x x =+(5);log 3lg 2ln 2x x x y +-= (6)()();7432x x y -+=123'ln10ln 2y x x x =-+'422y x =--(7);ln x xy =(8);cos ln 2x x x y = 21ln 'x xx y x-= 221'2ln cos cos ln sin y x x x x x x x x x =+- 21ln x x-= 22ln cos cos ln sin x x x x x x x x =+- (9);1csc 22xxy +=2222csc cot (1)2csc 2'(1)x x x x x y x -+-=+g g 2222(1)csc cot 4csc (1)x x x x x x -+-=+ (10).ln 3ln 223xx x x y ++= 2232223(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )x x x x x x x x y x x ++-++=+ 4222(94)ln 32(3ln )x x x x x x x x -+-+=+9. 已知. ,cos 21sin 4πϕϕρϕϕϕρ=+=d d 求因为1sin cos sin 2d d ρϕϕϕϕϕ=+- 所以4d d πϕρϕ===10. .1轴交点处的切线方程与写出曲线x xx y -= 令0y =,得11x x ==-或 因为2'1y x -=+, 所以 11'2,'2x x y y ==-==曲线在(1,0)处的切线方程为2(1)y x =-,即220x y --=; 曲线在(1,0)-处的切线方程为2(1)y x =+,即220x y -+=。
11. 求下列函数的导数:(1)()可分解为:函数452+=x y 4,25y u u x ==+其导数='y 38(25)x +(2)函数可分解为:23x e y -= 2,3u y e u x ==- ='y 其导数236x xe--(3)可分解为:函数22x a y -= 22y u a x ==-='y 其导数(4)()可分解为:函数x e y arctan = arctan ,xy u u e ==='y 其导数21x xe e+12. 写出下列函数的导数(只需写出结果): (1)()='-=y x y , cos 343sin(43)x - (2)()='+=y x y , ln 21221xx+ (3)='=y x y , sin 22sin cos x x(4)()='=y x y , arctan 2421xx+ (5)()='=y x y , tan 2222sec ()x x(6)(),log ='++=y x x y a 12221(1)ln x x x a+++ (7)='=y x y ,cos ln tan x - (8)()='-=y x y ,arcsin 2113. 求下列函数的导数(要有解题步骤):(1);2arcsin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y (2);arctan x e y =(3)()[]; ln ln ln x y = (4).cos sin nx x y n=14. 设():dxdyy x f 的导数可导,求下列函数 (1)();2xf y = (2)()().cos sin 22x f x f y +=22'()dy xf x dx = 22'(sin )2sin cos '(cos )2cos sin dy f x x x f x x x dx=-g 22sin 2['(sin )'()]x f x f cox x =-15. 求下列函数的导数:(1)()22sin sin x x y ⋅=(2)xy 1cos ln =(3)xe y 1sin 2-=(4)x x y +=16. 求下列函数的二阶导数: (1)x x y ln 22+=1'4y x x =+21''4y x=-(2)t e y tsin -='sin cos (cos sin )ttty e t e t e t t ---=-+=-''(cos sin )(sin cos )2cos ttty e t t e t t e t ---=--+--=-(3)()1ln 2x x y ++='y ===3223221''(1)22(1)x y x x x -=-+=-+g17. 若():22dx yd x f 阶导数存在,求下列函数的二''(1)()2xf y = (2)()[]x f y ln =2222'()()''()()['()][()]dy f x dx f x d y f x f x f x dx f x =-=18. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式:(1)x y 2sin = (2)x x y ln =19. 求下列函数所指定阶的导数: (1),cos x e y x= 求().4y (2),2sin 2x x y = 求().50y20. 求下列方程所确定的隐函数:dxdy y 的导数(1)0333=-+axy y x (2) yxe y -=1方程两边关于x 求导得: 方程两边关于x 求导得:2233330dy dy x y ay ax dx dx +--= y y dy dy e xe dx dx=-- 所以 22223333dy ay x ay x dx y ax y ax --==-- 所以 1y y dy e dx xe-=+ 222222222'()2['()2''()]2'()4''()dyxf x dxd y f x x xf x dxf x x f x ==+=+g21. .42,42323232程处的切线方程和法线方在点求曲线⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+a a a yx 方程两边关于x 求导得:113322033dy x y dx--+= 所以1313dy x dx y --=-=从而切线斜率1)1dy k dx==-,法线斜率 2111k k =-=所以切线方程为()44y a x a -=--,即02x y a +-=;法线方程为44y x a -=-,即0x y -=。