2 2 2 S
x2 y 2 z 2 (0 z h) 的外侧.
4、 （10 分） （两题选作一题）用适当方法完成下列计算： （1）计算拉普拉斯积分： I


0
cos 2 x dx ； 1 x2
（2）计算菲涅尔积分： I


sin x 2 dx .
0
得分
评阅人
四、证明题（共 3 小题，35 分）
4、一阶微分方程 (3x 4 xy)dx 2 x dy 0 的通解（可以用隐函数表达）为 5、设二阶可微函数 f ( x, y) 满足 .
专业：
2 f 2 f 2 f y , x y , x, 则 f ( x, y) 的表达形式为 x 2 xy y 2
得分
评阅人
第 2 页(共
3 页)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
1 u( , )d d r 2 ( x )2 2 2 ( y ) r 1 2
u( x, y)
1 2 r
( x ) ( y ) r
2

u( , )ds
2 2

2
u( x r cos , y r sin )d
0
对任意 r 0 成立.
I lim I
0.ຫໍສະໝຸດ （1） 证明I 1 2 n 1 n ；

1 u ( x y) 2 v 1 ( y x) 2 （2）利用变量替换：
2
计算积分 I 的值，并由此推出 6

1 2 n 1 n

第 3 页(共
3 页)
1、(10 分)设 A 0, AC B 0. 求平面曲线 Ax 2Bxy Cy 1所围成的图形的面积.
2 2 2
2、 （10 分）计算二重积分： A
0,10,1

1 xy dxdy . 4
3、 （10 分）计算曲面积分： I
x dydz y dzdx z dxdy ， S 为锥面：
0
S
e x
e x dx =_____________. x2
2
2
年级：
( x y z )dS , S : x
y 2 z 2 a 2 , z 0 的值为
.
3、由曲面 z xy, x y z 1, z 0 围成的立体体积为
2 2
. .
1、 （本题 10 分）设定义在 (0, ) 上的函数 f 满足下列三个条件： （1） x 0, f ( x) 0, f (1) 1; （2） f ( x 1) xf ( x), x 0; （3） ln f 是 (0, ) 上的凸函数. 证明： （1） f ( x) lim
期末考试试卷（A 卷）
课程名称 数学分析 3（试点班） 课程编号 83410004 任课教师 张正杰 陈世荣 题型 填空 题 分值 得分
得分 评阅人
学号：
计算 题I 15
计算 题 II 40
证明 题 35
总分
10
100
学生姓名：
一、填空题（共 5 题，10 分）
2
1、 设 0 ，则 2、第一型曲面积分 I
（2） f ( x, y) 在 (0, 0) 点的可微性.
2、 （本题 7 分）设函数 f ( x ) 在0, 上有界且连续， f (0) 0, 讨论函数
F ( y)

0
yf ( x) dx 的连续性. x2 y 2
得分
评阅人
三、计算题 II（共 4 小题，共 40 分）
华中师范大学 2008–2009 学年第二学期
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
二、计算题 I.（共 2 小题，15 分）
： 院（系）
1 , x 2 y 2 0, xy sin 2 2 x y 1、 （本题 8 分）设 f ( x, y ) .试讨论： 2 2 0, x y 0
（1） f x( x, y), f y( x, y) 在 (0, 0) 点的存在性和连续性；
3、 （本题 15 分） 设
R {( x, y) : 0 x 1;0 y 1} R {( x, y) : 0 x 1 ;0 y 1 } .
考虑积分
I
R
dxdy dxdy I R 1 xy 1 xy ， ，
定义
n x n! ； n x( x 1) ( x n)
（2）验证欧拉积分 ( x) 也满足题述的三个条件，并由此证明 f ( x) ( x).
2 2、 （本题 10 分）设 u ( x, y ) 在 R 上连续，对任意 r 0 ，证明：等式
u( x, y)
成立的充要条件是等式